高德納箭號表示法

高德納箭號表示法（Template:Lang-en）是種用來表示很大的整數的方法，由高德納於1976年設計。它的概念來自冪是重複的乘法，乘法是重複的加法。

簡介

乘法是重複的加法：$a\times b=a+a+\cdots +a$ （有$b$個$a$）

冪是重複的乘法：$a^b=a\uparrow b=a\times a\times \cdots \times a$（有$b$個$a$）

於是高德納定義「雙箭號」運算符，作重複的冪運算，或稱迭代冪次： $a\uparrow \uparrow b=\begin{array}{c}\underbrace{a\uparrow a\uparrow \cdots \uparrow a}\\ b\end{array}=\begin{array}{c}\underbrace{a^{a^{{.}^{{.}^{.a}}}}}\\ b\end{array}={}^{b}a$（中文读法為「b个a重幂」）

計算時是由右至左計的。

$3\uparrow \uparrow 2={}^{2}3=3^3=27$

$3\uparrow \uparrow 3={}^{3}3=3^{3^3}=3^{27}=7,625,597,484,987$

$3\uparrow \uparrow 4={}^{4}3=3^{3^{3^3}}=3^{7625597484987}\approx 1.2580143\times 10^{3638334640024}$

$3\uparrow \uparrow 5={}^{5}3=3^{3^{3^{3^3}}}=3^{3^{7625597484987}}\approx 3^{1.2580143\times 10^{3638334640024}}$

多於兩個箭號時，

$3\uparrow \uparrow \uparrow 2=3\uparrow \uparrow 3={}^{3}3=3^{3^3}=3^{27}=7,625,597,484,987$

$3\uparrow \uparrow \uparrow 3=3\uparrow \uparrow 3\uparrow \uparrow 3={}^{{}^{3}3}3={}^{7625597484987}3=\begin{array}{c}\underbrace{3^{3^{{.}^{{.}^{.3}}}}}\\ 7625597484987\end{array}$

使用指數來解釋高德納箭號表示法

$a\uparrow \uparrow b$代表重複的冪，或迭代冪次，例如： $a\uparrow \uparrow 4=a\uparrow (a\uparrow (a\uparrow a))=a^{a^{a^a}}$

當b為變量或過大時，重複的冪可以如下表示：

$a\uparrow \uparrow b=\underset{b}{\underbrace{a^{a^{{.}^{{.}^{.a}}}}}}$

指數不只能解釋兩個箭號的運算，三個箭號也行。

$a\uparrow \uparrow \uparrow 2=a\uparrow \uparrow a=\underset{a}{\underbrace{a^{a^{{.}^{{.}^{.a}}}}}}$

$a\uparrow \uparrow \uparrow 3=a\uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow a)=\underset{\underset{a}{\underbrace{a^{a^{{.}^{{.}^{.a}}}}}}}{\underbrace{a^{a^{{.}^{{.}^{.a}}}}}}$

$a\uparrow \uparrow \uparrow 4=a\uparrow \uparrow [a\uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow a)]=\underset{\underset{\underset{a}{\underbrace{a^{a^{{.}^{{.}^{.a}}}}}}}{\underbrace{a^{a^{{.}^{{.}^{.a}}}}}}}{\underbrace{a^{a^{{.}^{{.}^{.a}}}}}}$

再次的，當b為變量或過大時，三個箭號的運算可以如下表示：

$a\uparrow \uparrow \uparrow b=\underset{\underset{\underset{a}{\underbrace{⋮}}}{\underbrace{a^{a^{{.}^{{.}^{.a}}}}}}}{\underbrace{a^{a^{{.}^{{.}^{.a}}}}}}\}b$

四個箭號可以如下表示：

$a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 2=a\uparrow \uparrow \uparrow a=\underset{\underset{\underset{a}{\underbrace{⋮}}}{\underbrace{a^{a^{{.}^{{.}^{.a}}}}}}}{\underbrace{a^{a^{{.}^{{.}^{.a}}}}}}\}a$

$a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3=a\uparrow \uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow \uparrow a)=\underset{\underset{\underset{a}{\underbrace{⋮}}}{\underbrace{a^{a^{{.}^{{.}^{.a}}}}}}}{\underbrace{a^{a^{{.}^{{.}^{.a}}}}}}\}\underset{\underset{\underset{a}{\underbrace{⋮}}}{\underbrace{a^{a^{{.}^{{.}^{.a}}}}}}}{\underbrace{a^{a^{{.}^{{.}^{.a}}}}}}\}a$

$a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 4=a\uparrow \uparrow \uparrow [a\uparrow \uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow \uparrow a)]=\underset{\underset{\underset{a}{\underbrace{⋮}}}{\underbrace{a^{a^{{.}^{{.}^{.a}}}}}}}{\underbrace{a^{a^{{.}^{{.}^{.a}}}}}}\}\underset{\underset{\underset{a}{\underbrace{⋮}}}{\underbrace{a^{a^{{.}^{{.}^{.a}}}}}}}{\underbrace{a^{a^{{.}^{{.}^{.a}}}}}}\}\underset{\underset{\underset{a}{\underbrace{⋮}}}{\underbrace{a^{a^{{.}^{{.}^{.a}}}}}}}{\underbrace{a^{a^{{.}^{{.}^{.a}}}}}}\}a$

再次的一般化：

$a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b=\underset{b}{\underbrace{\underset{\underset{\underset{a}{\underbrace{⋮}}}{\underbrace{a^{a^{{.}^{{.}^{.a}}}}}}}{\underbrace{a^{a^{{.}^{{.}^{.a}}}}}}\}\underset{\underset{\underset{a}{\underbrace{⋮}}}{\underbrace{a^{a^{{.}^{{.}^{.a}}}}}}}{\underbrace{a^{a^{{.}^{{.}^{.a}}}}}}\}\cdots \}a}}$

這種方法可以用來表示任何能夠用高德納箭號表示法表示的數，但是會變得相當麻煩。

一般化

若要用多個箭號時，可用↑ⁿ表示，但有些數還是大得連這種表示法也不夠用，例如葛立恆數。

這時可能用hyper運算符或康威鏈式箭號表示法方便一點。

$\begin{array}{ccccc}a{\uparrow }^{n}b& =& \text{hyper}(a,n+2,b)& =& a\to b\to n\\ \text{(Knuth)}& & & & \text{(Conway)}\end{array}$

定義

對於整數$a$、非負整數$b$和正整數$n$：

$a{\uparrow }^{n}b=\{\begin{array}{c}1,\\ a^b,\\ a{\uparrow }^{n-1}(a{\uparrow }^n(b-1)),\end{array}$	若$b=0$；
	若$n=1$；
	其他。

這個表示法符合向右結合律。

參考

• Knuth, Donald E., "Coping With Finiteness", Science vol. 194 n. 4271 (Dec 1976), pp. 1235-1242.
• Template:Mathworld
• Robert Munafo, Large Numbers Template:Wayback