電位移

Template:NoteTA 在電磁學裏，電位移（Template:Lang-en）是出現於馬克士威方程組的一種向量場，可以用來解釋介電質內自由電荷所產生的效應。電位移$𝐃$以方程式定義為

$𝐃\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}{\epsilon }_0𝐄+𝐏$；

其中，${\epsilon }_0$是電常數，$𝐄$是電場，$𝐏$是電極化強度。

概述

高斯定律表明，電場的散度等於總電荷密度${\rho }_{total}$除以電常數：

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄={\rho }_{total}/{\epsilon }_0$。

電極化強度的散度等於負束縛電荷密度$-{\rho }_{bound}$：

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐏=-{\rho }_{bound}$。

而總電荷密度等於束縛電荷密度加上自由電荷密度${\rho }_{free}$：

${\rho }_{total}={\rho }_{free}+{\rho }_{bound}$。

所以，電位移的散度等於自由電荷密度${\rho }_{free}$：

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐃={\rho }_{free}$。

這與高斯定律的方程式類似。假設，只給定自由電荷密度${\rho }_{free}$，或許可以用高斯方法來計算電位移$𝐃$。但是，在這裏，不能使用這方法。只知道自由電荷密度${\rho }_{free}$，有時候仍舊無法計算出電位移。思考以下關係式：

$\mathrm{\nabla }\times 𝐃={\epsilon }_0(\mathrm{\nabla }\times 𝐄)+(\mathrm{\nabla }\times 𝐏)$。

並根據法拉第感應定律：$\mathrm{\nabla }\times 𝐄=-\dot{𝐁}$ , 其中$\dot{𝐁}$是磁場相對於時間的變化率

$\mathrm{\nabla }\times 𝐃+{\epsilon }_0\dot{𝐁}=\mathrm{\nabla }\times 𝐏$

假設電磁場為不含時變電磁場（即與時間無關的電磁場），$\dot{𝐁}=0$，則

$\mathrm{\nabla }\times 𝐃=\mathrm{\nabla }\times 𝐏$。

假若$\mathrm{\nabla }\times 𝐏\ne 0$，則雖然設定${\rho }_{free}=0$，電位移仍舊不等於零：$𝐃\ne 0$！

舉例而言，擁有固定電極化強度$𝐏$的永電體，其內部不含有任何自由電荷，但是內在的電極化強度$𝐏$會產生電場。

只有當問題本身具有某種對稱性，像球對稱性或圓柱對稱性等等，才能夠直接使用高斯方法，從自由電荷密度計算出電位移與電場。否則，必需將電極化強度$𝐏$和邊界條件納入考量。

線性電介質

「線性電介質」，對於外電場的施加，會產生線性響應。例如，鐵電材料是非線性電介質。假設線性電介質具有各向同性，則其電場與電極化強度的關係式為

$𝐏={\chi }_e{\epsilon }_0𝐄$；

其中，${\chi }_e$是電極化率。

將這關係式代入電位移的定義式，可以得到

$𝐃=(1+{\chi }_e){\epsilon }_0𝐄=\epsilon 𝐄$；

其中，$\epsilon$是電容率。

所以，電位移與電場成正比；其比率是電容率。另外，

$\mathrm{\nabla }\cdot (\epsilon 𝐄)={\rho }_{free}$。

假設這電介質具有均勻性，則電容率$\epsilon$是常數：

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄={\rho }_{free}/\epsilon$。

定義相對電容率${\epsilon }_r$為

${\epsilon }_r\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\epsilon /{\epsilon }_0$。

相對電容率與電極化率有以下的關係：

${\epsilon }_r=1+{\chi }_e$。

要注意的一点是，上式$𝐃=\epsilon 𝐄$的描述只是一种近似关系，当$𝐄$变得很大时，$𝐃$与$𝐄$就不再成正比关系了。这主要是由于电介质物质的物理特性是很复杂的。也可以理解为，这个式子就像胡克定律一样，只是一种近似。

各向異性線性電介質的電容率是個張量。例如，晶體的電容率通常必需用張量來表示。

應用範例

平行板電容器的兩片平板導體分別含有的正負自由電荷，會產生電位移。藉著一個扁長方形盒子，可以用高斯定律來解釋電位移與自由電荷的關係。

如右圖所示，平行板電容器是由互相平行、以空間或電介質相隔的兩片平板導體構成的電容器。假設上下兩片平板導體分別含有負電荷與正電荷，含有的電荷量分別為$-Q$、$+Q$。又假設兩片平板導體之間的間隔距離超小於平板的長度與寬度，則可以視這兩片平板導體為無限平面；做簡單計算時，不必顧慮邊緣效應。由於系統的對稱性，可以應用高斯定律來計算電位移，其方向必定是從帶正電平板導體指向帶負電平板導體，而且垂直於平板導體；又由於平板導體含有的電荷是自由電荷，不需要知道電介質的性質，就可以應用關於自由電荷的高斯定律來計算電位移。

先計算帶正電平板導體所產生的電位移。試想一個扁長方形盒子，其頂面和底面分別在這平板導體的兩邊，平行於平板導體；而盒子的其它四個側面都垂直於平板導體。根據關於自由電荷的高斯定律，

${\oint }_{𝕊}{𝐃}_{+}\cdot \mathrm{d}𝐚=Q$；

其中，$𝕊$是扁長方形盒子的閉合表面，${𝐃}_{+}$是帶正電平板導體所產生的電位移，$d𝐚$是微小面元素。

由於扁長方形盒子的四個側面的面向量都與${𝐃}_{+}$向量相垂直，它們對於積分的貢獻是零；只有盒子的頂面和底面對於積分有貢獻：

$2D_{+}A=Q$ ;

其中，$A$是盒子頂面、底面的面積。

所以，${𝐃}_{+}$向量的方向是從帶正電平板導體垂直地向外指出，大小為

$D_{+}=Q/2A$。

類似地，可以計算出帶負電平板導體所產生的電位移；${𝐃}_{-}$向量的方向是垂直地指向帶負電平板導體，大小為

$D_{-}=Q/2A$。

應用疊加原理，可以計算這兩片帶電平板導體一起產生的電位移。在這兩片平板導體之間，${𝐃}_{+}$和${𝐃}_{-}$的方向相同；應用疊加原理，電位移的大小等於平板導體的表面電荷密度：$D=Q/A$。在兩片平板導體的共同上方或共同下方，${𝐃}_{+}$和${𝐃}_{-}$的方向相反；應用疊加原理，電位移的大小等於零。

假設電介質的電容率為$\epsilon$，則在兩片平板導體之間，電場的大小為

$E=D/\epsilon =Q/\epsilon A$。

假設兩片平板導體的間隔距離為$d$，則電壓$V$為

$V=Ed=Qd/\epsilon A$。

這平行板電容器的電容$C$為

$C=Q/V=\epsilon A/d$。

參閱

• 《論法拉第力線》
• 《論物理力線》
• 位移電流
• 電磁波方程式