莫雷拉定理

Template:NoteTA 莫雷拉定理是一个用来判断函数是否全纯的定理。

如果f是一个连续的-{zh-cn:复;zh-tw:複}-值函数，定义在复平面上的开集D内，且对于所有D内的闭曲线C，都满足

${\oint }_{C}f(z)dz=0$

则f在D内是全纯的。

莫雷拉定理的假设等于是说f在D内具有原函数。

该定理的逆命题不一定成立。全纯函数在定义域内并不一定有原函数，除非加上更多条件。例如，柯西积分定理说明全纯函数沿着一条闭曲线的路径积分为零，只要函数的定义域是单连通的。

证明

莫雷拉定理有一个相对简单的证明。不失一般性，我们可以假设D是连通的。固定D内的一个点a，并定义D内的一个-{zh-cn:复;zh-tw:複}-值函数F：

$F(b)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(z)dz.$

这个积分可以是沿着D内从a到b的任何一条路径。函数F是定义良好的，因为根据假设，f沿着从a到b的任何两条曲线的积分一定是相等的。根据微积分基本定理，可知F的导数是f：

$F^{\prime }(z)=f(z).$

特别地，函数F是全纯的。则f也一定是全纯的，因为它是全纯函数的导数。

应用

一致极限

假设f₁, f₂, ...是一个全纯函数的序列，在开圆盘内一致收敛于连续函数f。根据柯西积分定理，可知對每個n，順著任意圓盤內的閉曲線C，

${\oint }_C{f}_n(z)dz=0$

而一致收斂則意指，對每個閉曲線C，

${\oint }_{C}f(z)dz=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\oint }_C{f}_n(z)dz=0$

，因此根据莫雷拉定理，f　一定是全纯函数。這個事實可以用來證明對每一個開集Ω ⊆ C，由所有有界解析函數u : Ω → C 所組成的集合A(Ω) 會是一個在最小上界範數下的複巴拿赫空間。

无穷级数和积分

莫雷拉定理可以用于证明由级数或积分所定义的函数的解析性，例如黎曼ζ函数：

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}$

或伽玛函数：

$\mathrm{\Gamma }(\alpha )=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{\alpha -1}{e}^{-x}dx.$

参考文献

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• G. Morera, "Un teorema fondamentale nella teoria delle funzioni di una variabile complessa", Rend. del R. Instituto Lombardo di Scienze e Lettere (2) 19 (1886) 304–307
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外部链接

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• 莫雷拉定理的教程