自由粒子

Template:NoteTA 在物理學裏，自由粒子是不被位勢束縛的粒子。在經典力學裏，一個自由粒子所感受到外來的淨力是0。

假若，一個粒子的能量大於在任何地點$x$的位勢，$E>V(x)$，不會被位勢束縛，則稱此粒子為自由粒子。更強版的定義，還要求位勢為常數$V(x)=V_0$。假若，一維空間分為幾個區域，只有在每個區域內，位勢為常數；在區域與區域之間，位勢不相等，則稱此粒子為半自由粒子。自由粒子或半自由粒子的能量大於位勢，$E>V(x)$，不會被位勢束縛，能量不是離散能量譜的特殊值，而是大於或等於$V_0$的任意值。

本條目只論述強版定義的自由粒子。由於能量與位勢都不是絕對值，可以設定位勢為0，再根據新舊位勢的差額，調整能量。

古典自由粒子

古典自由粒子的特點是它移動的速度$𝐯$是不變的。它的動量$𝐩$是

$𝐩=m𝐯$。

其中，$m$是粒子的質量。

能量$E$是

$E=\frac{1}{2}m{v}^2$。

非相對論性的自由粒子

描述一個非相對論性自由粒子的含時薛丁格方程式為

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Psi }(𝐫,t)=i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Psi }(𝐫,t)$；

其中，$\hslash$是約化普朗克常數，$\mathrm{\Psi }(𝐫,t)$是粒子的波函數，$𝐫$是粒子的位置，$t$是時間。

這薛丁格方程式有一個平面波解：

$\mathrm{\Psi }(𝐫,t)=e^{i(𝐤\cdot 𝐫-\omega t)}$；

其中，$𝐤$是波向量，$\omega$是角頻率。

將這公式代入薛丁格方程，這兩個變數必須遵守關係式

$\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}=\hslash \omega$。

由於粒子存在的機率等於1，波函數$\mathrm{\Psi }(𝐫,t)$必須歸一化，才能夠表達出正確物理意義。對於一般的自由粒子而言，這不是問題。因為，自由粒子的波函數，在位置或動量方面，都是局部性的。

動量的期望值是

$⟨𝐩⟩=⟨\mathrm{\Psi }|-i\hslash \mathrm{\nabla }|\mathrm{\Psi }⟩=\hslash 𝐤$。

能量的期望值是

$⟨E⟩=⟨\mathrm{\Psi }|i\hslash \frac{\partial }{\partial t}|\mathrm{\Psi }⟩=\hslash \omega$。

代入波向量$𝐤$與角頻率$\omega$的關係方程，可以得到熟悉的能量與動量的關係方程：

$⟨E⟩=\frac{⟨p{⟩}^2}{2m}$。

波的群速度$v_g$定義為

$v_g=\frac{\mathrm{d}\omega }{\mathrm{d}k}=\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}p}=v$；

其中，$v$是粒子的經典速度。

波的相速度$v_p$定義為

$v_p=\frac{\omega }{k}=\frac{E}{p}=\frac{p}{2m}=\frac{v}{2}$。

在量子力學裏，一個自由粒子的動量與能量不必須擁有特定的值。自由粒子的波函數以波包函數表示為

$\mathrm{\Psi }(𝐫,t)=\frac{1}{(2\pi {)}^{3/2}}\underset{𝕂}{\int }A(𝐤)e^{i(𝐤\cdot 𝐫-\omega t)}\mathrm{d}𝐤$；

其中，積分區域$𝕂$是$𝐤$-空間。

為了方便計算，只考虑一維空間，

$\mathrm{\Psi }(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}A(k)e^{i(kx-\omega (k)t)}\mathrm{d}k$；

其中，振幅$A(k)$是量子疊加的係數函數。

逆反過來，係數函數表示為

$A(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{\Psi }(x,0)e^{-ikx}\mathrm{d}x$；

其中，$\mathrm{\Psi }(x,0)$是在時間$t=0$的波函數。

所以，知道在時間$t=0$的波函數$\mathrm{\Psi }(x,0)$，通過傅立葉轉換，可以推導出在任何時間的波函數$\mathrm{\Psi }(x,t)$。

相對論性的自由粒子

相對論性的自由粒子的量子行為，需要用特別的方程專門描述：

• 克莱因-戈尔登方程描述中性的，自旋為零的，相對論性的自由粒子的量子行為。
• 狄拉克方程描述相對論性的電子（自旋為$1/2$）的量子行為。

參閱

• 態疊加原理
• 無限深方形阱
• 有限深方形阱
• 有限位勢壘
• 球對稱位勢
• Delta位勢阱
• Delta位勢壘
• 波包