自伴算子

Template:NoteTA 在数学、尤其是泛函分析中，向量空间 $V$ 上的自伴算子（Template:Lang）是一类特殊的线性算子（自同态），其伴随算子是其自身。根据不同的需要，可以讨论 $V$ 为拓扑向量空间、赋范向量空间、巴拿赫空间乃至希尔伯特空间的情况，使得伴随算子、自伴算子可以具有更丰富的性质，一个重要的例子是希尔伯特空间上自伴算子的谱定理。

若 $V$ 是具有规范正交基的有限维复向量空间，其上自伴算子在该基下的矩阵是埃尔米特矩阵——该矩阵等于自身的共轭转置。有限维的谱定理表明，对于一个算子 $A$ ，总能找到 $V$ 上的规范正交基使得 $A$ 在该基下的矩阵是一个对角矩阵，且这些对角元都是实数。

无穷维希尔伯特空间上的自伴算子的谱定理与此类似：一个算子是自伴的，当且仅当其酉等价于一个实值乘法算子。不过，黑林格-特普利茨定理表明了定义于全空间的自伴算子必然是有界的，从而无界算子至多只能定义在全空间的一个稠密子空间上，故对于无界算子须对定义域的问题多加注意。定义域的问题造成了对称算子和自伴算子的区分，而这区分对于谱定理等结论而言是至关重要的。

自伴算子在量子力学中也有重要地位。在Template:Tsl中，位置、动量、角动量和自旋等物理可观测量是由希尔伯特空间上的自伴算子表示。在哈密顿算子的谱（能级）具有重要的物理意义的同时，哈密顿算子中的动能项通常由导数算子构成，而无穷维空间中的导数算子是典型的无界算子。

量子力學

Template:物理算符在量子力學裏，自伴算子，又稱為自伴算符，或厄米算符（Template:Lang），是一種等於自己的厄米共軛的算符。給予算符 $\hat{O}$ 和其伴隨算符 ${\hat{O}}^{†}$ ，假設 $\hat{O} = {\hat{O}}^{†}$ ，則稱 $\hat{O}$ 為厄米算符。厄米算符的期望值可以表示量子力学中的物理量。

可觀察量

由於每一種經過測量而得到的物理量都是實值的。所以，可觀察量 $O$ 的期望值是實值的：

⟨ O ⟩ = ⟨ O ⟩^{*}

。

對於任意量子態 $| ψ ⟩$ ，這關係都成立；

⟨ ψ | \hat{O} | ψ ⟩ = ⟨ ψ | \hat{O} | ψ ⟩^{*}

。

根據伴隨算符的定義，假設 ${\hat{O}}^{†}$ 是 $\hat{O}$ 的伴隨算符，則 $⟨ ψ | \hat{O} | ψ ⟩^{*} = ⟨ ψ | {\hat{O}}^{†} | ψ ⟩$ 。因此，

\hat{O} = {\hat{O}}^{†}

。

這正是厄米算符的定義。所以，表示可觀察量的算符 $\hat{O}$ ，都是厄米算符。

可觀察量，像位置，動量，角動量，和自旋，都是用作用於希爾伯特空間的自伴算符來代表。哈密頓算符 $\hat{H}$ 是一個很重要的自伴算符，表達為

\hat{H} ψ = - \frac{ℏ^{2}}{2 m} \nabla^{2} ψ + V ψ

；

其中， $ψ$ 是粒子的波函數， $ℏ$ 是約化普朗克常數， $m$ 是質量， $V$ 是位勢。

哈密頓算符所代表的哈密頓量是粒子的總能量，一個可觀察量。

動量是一個可觀察量，動量算符應該也是厄米算符：選擇位置空間，量子態 $| ψ ⟩$ 的波函數為 $ψ (x)$ ，

⟨ ψ | \hat{p} | ψ ⟩ = \int_{- \infty}^{\infty} ψ^{*} \frac{ℏ}{i} \frac{\partial ψ}{\partial x} d x = {\frac{ℏ}{i} ψ^{*} ψ |}_{- \infty}^{\infty} - \int_{- \infty}^{\infty} \frac{ℏ}{i} \frac{\partial ψ^{*}}{\partial x} ψ d x = \int_{- \infty}^{\infty} {(\frac{ℏ}{i} \frac{\partial ψ}{\partial x})}^{*} ψ d x = ⟨ ψ | \hat{p} | ψ ⟩^{*} = ⟨ ψ | {\hat{p}}^{†} | ψ ⟩

。

對於任意量子態 $| ψ ⟩$ ， $\hat{p} = {\hat{p}}^{†}$ 。所以，動量算符確實是一個厄米算符。

參考文獻

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