精細結構

氫原子的精細結構圖：左邊是波耳的能級線譜，中間是經過修正後，線譜的精細結構，右邊是線譜的超精細結構。

在原子物理學裏，因為一階相對論性效應，與自旋-軌道耦合，而產生的原子譜線分裂，稱為精細結構。

非相對論性、不考慮自旋的電子產生的譜線稱為粗略結構。類氫原子的粗略結構只與主量子數$n$有關；更精確的模型，考慮到相對論效應與自旋-軌道效應，能夠分解能級的簡併，使譜線能更精細地分裂。相對於粗略結構，精細結構是一個$(Z\alpha {)}^2$效應；其中，$Z$是原子序數，$\alpha$是精細結構常數。

精細結構修正包括相對論性的動能修正與自旋-軌道修正。整個哈密頓量$H$是

$H=H^{(0)}+H_{kinetic}+H_{so}$；

其中，$H^{(0)}$是零微擾哈密頓量，$H_{kinetic}$是動能修正，$H_{so}$是自旋-軌道修正。

相對論性修正

經典哈密頓量的動能項目是

$T=\frac{p^2}{2m}$；

其中，$T$是動能，$p$是動量，$m$是質量。

可是，若加入狹義相對論的效應，我們必須使用相對論形式的動能：

$T=\sqrt{p^2{c}^2+m^2{c}^4}-m{c}^2$；

其中，$c$是光速。

請注意在這方程式的右手邊，平方根項目是總相對論性能量，$m{c}^2$項目是電子的靜能量。假設$p\ll mc$，則可以用泰勒級數展開平方根項目：

$T=\frac{p^2}{2m}-\frac{p^4}{8m^3{c}^2}+\dots$。

哈密頓量的動能修正是

$H_{kinetic}=-\frac{p^4}{8m^3{c}^2}$。

將這修正當作一個小微擾，根據量子力學的微擾理論，我們可以計算出相對論性的一階能量修正$E_n^{(1)}$：

$E_n^{(1)}=⟨{\psi }_n^{(0)}|H_{kinetic}|{\psi }_n^{(0)}⟩=-\frac{1}{8m^3{c}^2}⟨{\psi }_n^{(0)}|p^4|{\psi }_n^{(0)}⟩=-\frac{1}{8m^3{c}^2}⟨{\psi }_n^{(0)}|p^2{p}^2|{\psi }_n^{(0)}⟩$；

其中，$n$是主量子數，零微擾波函數${\psi }_n^{(0)}$是本徵能量為$E_n^{(0)}$的本徵函數，$E_n^{(0)}=-\frac{Z^2{\alpha }^{2}m{c}^2}{2n^2}$，精細結構常數$\alpha =\frac{e^2}{4\pi {ϵ}_0\hslash c}$。

回想零微擾哈密頓量$H^{(0)}$與${\psi }_n^{(0)}$的關係方程式：

$H^{(0)}|{\psi }_n^{(0)}⟩=E_n^{(0)}|{\psi }_n^{(0)}⟩$。

零微擾哈密頓量等於動能加上位能$V$：

$(\frac{p^2}{2m}+V)|{\psi }_n^{(0)}⟩=E_n^{(0)}|{\psi }_n^{(0)}⟩$。

將位能移到公式右手邊：

$p^2|{\psi }_n^{(0)}⟩=2m(E_n^{(0)}-V)|{\psi }_n^{(0)}⟩$。

將這結果代入$E_n^{(1)}$的公式：

$\begin{array}{cc}{E}_n^{(1)}& =-\frac{1}{8m^3{c}^2}⟨{\psi }_n^{(0)}|p^2{p}^2|{\psi }_n^{(0)}⟩\\ & =-\frac{1}{8m^3{c}^2}⟨{\psi }_n^{(0)}|(2m{)}^2(E_n^{(0)}-V{)}^2|{\psi }_n^{(0)}⟩\\ & =-\frac{1}{2m{c}^2}[(E_n^{(0)}{)}^2-2E_n^{(0)}⟨V⟩+⟨V^2⟩]\\ \end{array}$ 。

類氫原子的位能是$V=\frac{Z{e}^2}{4\pi {ϵ}_{0}r}$；其中，$e$是單位電荷量，$r$是徑向距離。經過一番繁瑣的運算 ，可以得到

$⟨V⟩=\frac{Z^2{e}^2}{4\pi {ϵ}_0{a}_0{n}^2}$，

$⟨V^2⟩=\frac{Z^4{e}^4}{(l+1/2)(4\pi {ϵ}_0{a}_0{)}^2{n}^3}$；

其中，$a_0=\frac{\hslash }{\alpha mc}$是波耳半徑，$l$是角量子數。

將這兩個結果代入，經過一番運算，可以得到相對論修正：

$\begin{array}{cc}{E}_n^{(1)}& =-\frac{1}{2m{c}^2}[(E_n^{(0)}{)}^2-2E_n^{(0)}\frac{Z^2{e}^2}{4\pi {ϵ}_0{a}_0{n}^2}+\frac{Z^4{e}^4}{(l+1/2)(4\pi {ϵ}_0{a}_0{)}^2{n}^3}]\\ & =-\frac{(E_n^{(0)}{)}^2}{2m{c}^2}(\frac{4n}{l+1/2}-3)\\ \end{array}$ 。

自旋-軌道修正

當我們從標準參考系（原子核的靜止參考系；原子核是不動的，電子運動於它環繞著原子核的軌道）改變至電子的靜止參考系（電子是不動的，原子核運動於它環繞著電子的軌道）時，我們會遇到自旋-軌道修正。在這狀況，運動中的原子核有效地形成了一個電流圈，這會產生磁場$𝐁$ ．可是，因為電子的自旋，電子自己擁有磁矩$\mathit{\mu }$。兩個磁向量$𝐁$與$\mathit{\mu }$共同耦合．這使得哈密頓量內，又添加了一個項目：

$H_{so}=\frac{Z{e}^2}{8\pi {ϵ}_0{m}^2{c}^2{r}^3}(𝐋\cdot 𝐒)$；

其中，${ϵ}_0$是真空電容率，$𝐋$是角動量，$𝐒$是自旋。

設定總角動量$𝐉=𝐋+𝐒$。應用一階微擾理論，由於$H_{so}$、$J^2$、$L^2$、$S^2$，這四個算符都互相對易。$H^{(0)}$、$J^2$、$L^2$、$S^2$，這四個算符也都互相對易。這四個算符的共同本徵函數可以被用為零微擾波函數$|n,j,l,s⟩$；其中，$j$是總角量子數，$s$是自旋量子數。那麼，經過一番運算，可以得到能級位移

$E_n^{(1)}=\frac{(E_n^{(0)}{)}^2}{m{c}^2}\frac{2n[j(j+1)-l(l+1)-3/4]}{l(l+1)(2l+1)}$。

總和

相對論性修正與自旋-軌道修正的總和是

$E_n^{(1)}=-\frac{(E_n^{(0)}{)}^2}{2m{c}^2}(\frac{4n}{l+1/2}-3)+\frac{(E_n^{(0)}{)}^2}{m{c}^2}\frac{2n[j(j+1)-l(l+1)-3/4]}{l(l+1)(2l+1)}$；

其中，$j=l\pm 1/2$。

將$j$的這兩個數值分別代入總合方程式裏，經過一番運算，可以得到同樣的結果：

$E_n^{(1)}=\frac{(E_n^{(0)}{)}^2}{m{c}^2}(\frac{3}{2}-\frac{4n}{2j+1})$。

總結，修正後，取至一階，電子的總能級為，

$E_n=\frac{E_1^{(0)}}{n^2}(1+{\left(\frac{Z\alpha }{n}\right)}^2(\frac{2n}{2j+1}-\frac{3}{4}))$ ;

其中，$E_1^{(0)}=-13.6\mathrm{e}\mathrm{V}$是電子的基態能級，$\alpha \approx \frac{1}{137}$是精細結構常數。

更精确的结果

从狄拉克方程直接求解得到的结果是：

$E_n=-m{c}^2[1-{(1+{\left[\frac{Z\alpha }{n-j-\frac{1}{2}+\sqrt{{(j+\frac{1}{2})}^2-Z^2{\alpha }^2}}\right]}^2)}^{-1/2}]$

其一阶近似就是上面的结果。

參閱

• 斯塔克效應
• 塞曼效應
• 超精細結構
• 蘭姆位移

參考文獻

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外部連結

• 圣地牙哥加州大学物理系視聽教學：精細結構
• 喬治亞州州立大學（Template:Lang）線上物理網頁：精細結構 Template:Wayback
• 德州大學物理講義：氫原子的精細結構 Template:Wayback