球谐函数

Template:NoteTA 球谐函数是拉普拉斯方程的球坐标系形式解的角度部分。在古典場論、量子力学等领域广泛应用。

函数的推导

本微分方程的推导

球坐标下的拉普拉斯方程式:

${\mathrm{\nabla }}^{2}f=\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial f}{\partial \theta })+\frac{1}{r^2{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\phi }^2}=0$ 。

實值的球諧函數 Y_lm，l = 0 到 4 （由上至下），m=0 到 4（由左至右）。負數階球諧函數 Y_l,-m 可由正數階函數對 z-軸轉 90/m 度得到。

利用分离变量法，设定 $f(r,\theta ,\phi )=R(r)Y(\theta ,\phi )=R(r)\mathrm{\Theta }(\theta )\mathrm{\Phi }(\phi )$ 。其中$Y(\theta ,\phi )$代表角度部分的解，也就是球谐函数。

代入拉普拉斯方程，得到：

$\frac{\mathrm{\Theta }\mathrm{\Phi }}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dR}{dr}\right)+\frac{R\mathrm{\Phi }}{r^2\sin \theta }\frac{d}{d\theta }(\sin \theta \frac{d\mathrm{\Theta }}{d\theta })+\frac{R\mathrm{\Theta }}{r^2{\sin }^2\theta }\frac{d^2\mathrm{\Phi }}{d{\phi }^2}=0$

分离变量后得：

$\{\begin{array}{c}\frac{1}{R}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dR}{dr}\right)=\lambda \\ \frac{1}{\mathrm{\Phi }}\frac{d^2\mathrm{\Phi }}{d{\phi }^2}=-m^2\\ \lambda +\frac{1}{\mathrm{\Theta }\sin \theta }\frac{d}{d\theta }(\sin \theta \frac{d\mathrm{\Theta }}{d\theta })-\frac{m^2}{{\sin }^2\theta }=0\end{array}$ ，整理得$\{\begin{array}{c}{r}^2{R}^{″}+2r{R}^{\prime }-\lambda R=0\\ {\mathrm{\Phi }}^{″}+m^2\mathrm{\Phi }=0\\ \sin \theta \frac{d}{d\theta }(\sin \theta {\mathrm{\Theta }}^{\prime })+(\lambda {\sin }^2\theta -m^2)\mathrm{\Theta }=0\end{array}$

本征方程的求解

这里，$\mathrm{\Phi }$是一个以$2\pi$为周期的函数，即满足周期性边界条件$\mathrm{\Phi }(\phi )=\mathrm{\Phi }(\phi +2\pi )$，因此$m$必须为整数。而且可以解出：

$\mathrm{\Phi }=e^{im\varphi }$，$m\in \mathbb{Z}$

而对于$\mathrm{\Theta }$的方程，进行变量替换 $t=\cos \theta$，$dt=-\sin \theta d\theta$，$|t|⩽1$，得到关于$t$的伴随勒让德方程。方程的解应满足在$[-1,1]$区间上取有限值，此时必须有$\lambda =l(l+1)$，其中$l$为自然数，且$l⩾|m|$。对应方程的解为$P_{\ell }^m(t)$。即可以解出：

$\mathrm{\Theta }=P_{\ell }^m(\cos \theta )$，$l\in \mathbb{N},l⩾|m|$

故球谐函数可以表达为：

$Y_{\ell }^m(\theta ,\phi )=N\mathrm{\Phi }(\phi )\mathrm{\Theta }(\theta )=N{e}^{im\phi }{P}_{\ell }^m(\cos \theta )$ ，$l\in \mathbb{N},m=0,\pm 1,\pm 2,\dots \pm l$；

其中N 是归一化因子。

經過歸一化後，球谐函数表達為：

$Y_{\ell }^m(\theta ,\phi )=(-1{)}^m\sqrt{\frac{(2\ell +1)}{4\pi }\frac{(\ell -|m|)!}{(\ell +|m|)!}}{P}_{\ell }^m(\cos \theta )e^{im\phi }$ ；

这里的 $Y_{\ell }^m$ 称为 $\ell$ 和 $m$ 的球谐函数。以上推导过程中，$i$ 是虛數單位， $P_{\ell }^m$ 是伴随勒让德多项式 。

其中$P_{\ell }^m(x)$ 用方程式定義為：

$P_{\ell }^m(x)=(1-x^2{)}^{|m|/2}\frac{d^{|m|}}{d{x}^{|m|}}{P}_{\ell }(x)$ ；

而 $P_{\ell }(x)$ 是 $l$ 階勒讓德多項式，可用羅德里格公式表示為：

$P_{\ell }(x)=\frac{1}{2^{\ell }\ell !}\frac{d^{\ell }}{d{x}^{\ell }}(x^2-1{)}^l$ 。

前几阶球谐函数

$l$	$m$	$\mathrm{\Phi }(\phi )$	$\mathrm{\Theta }(\theta )$		極坐標中的表達式	直角坐標中的表達式	量子力學中的記号
0	0	$\frac{1}{\sqrt{2\pi }}$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$		$\frac{1}{2\sqrt{\pi }}$	$\frac{1}{2\sqrt{\pi }}$	$\text{s}$
1	0	$\frac{1}{\sqrt{2\pi }}$	$\sqrt{\frac{3}{2}}\cos \theta$		$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{\pi }}\cos \theta$	$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{\pi }}\frac{z}{r}$	${\text{p}}_z$
1	+1	$\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp (i\phi )$	$\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \theta$	$\{$	$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{\pi }}\sin \theta \cos \phi$	$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{\pi }}\frac{x}{r}$	${\text{p}}_x$
1	-1	$\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp (-i\phi )$	$\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \theta$		$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{\pi }}\sin \theta \sin \phi$	$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{\pi }}\frac{y}{r}$	${\text{p}}_y$
2	0	$\frac{1}{\sqrt{2\pi }}$	$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5}{2}}(3{\cos }^2\theta -1)$		$\frac{1}{4}\sqrt{\frac{5}{\pi }}(3{\cos }^2\theta -1)$	$\frac{1}{4}\sqrt{\frac{5}{\pi }}\frac{2z^2-x^2-y^2}{r^2}$	${\text{d}}_{3z^2-r^2}$
2	+1	$\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp (i\phi )$	$\frac{\sqrt{15}}{2}\sin \theta \cos \theta$	$\{$	$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{15}{\pi }}\sin \theta \cos \theta \cos \phi$	$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{15}{\pi }}\frac{zx}{r^2}$	${\text{d}}_{zx}$
2	-1	$\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp (-i\phi )$	$\frac{\sqrt{15}}{2}\sin \theta \cos \theta$		$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{15}{\pi }}\sin \theta \cos \theta \sin \phi$	$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{15}{\pi }}\frac{yz}{r^2}$	${\text{d}}_{yz}$
2	+2	$\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp (2i\phi )$	$\frac{\sqrt{15}}{4}{\sin }^2\theta$	$\{$	$\frac{1}{4}\sqrt{\frac{15}{\pi }}{\sin }^2\theta \cos 2\phi$	$\frac{1}{4}\sqrt{\frac{15}{\pi }}\frac{x^2-y^2}{r^2}$	${\text{d}}_{x^2-y^2}$
2	-2	$\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp (-2i\phi )$	$\frac{\sqrt{15}}{4}{\sin }^2\theta$		$\frac{1}{4}\sqrt{\frac{15}{\pi }}{\sin }^2\theta \sin 2\phi$	$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{15}{\pi }}\frac{xy}{r^2}$	${\text{d}}_{xy}$
3	0	$\frac{1}{\sqrt{2\pi }}$	$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{7}{2}}(5{\cos }^3\theta -3\cos \theta )$		$\frac{1}{4}\sqrt{\frac{7}{\pi }}(5{\cos }^3\theta -3\cos \theta )$	$\frac{1}{4}\sqrt{\frac{7}{\pi }}\frac{z(2z^2-3x^2-3y^2)}{r^3}$	${\text{f}}_{z(5z^2-3r^2)}$
3	+1	$\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp (i\phi )$	$\frac{1}{4}\sqrt{\frac{21}{2}}(5{\cos }^2\theta -1)\sin \theta$	$\{$	$\frac{1}{4}\sqrt{\frac{21}{2\pi }}(5{\cos }^2\theta -1)\sin \theta \cos \phi$	$\frac{1}{4}\sqrt{\frac{21}{2\pi }}\frac{x(5z^2-r^2)}{r^3}$	${\text{f}}_{x(5z^2-r^2)}$
3	-1	$\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp (-i\phi )$	$\frac{1}{4}\sqrt{\frac{21}{2}}(5{\cos }^2\theta -1)\sin \theta$		$\frac{1}{4}\sqrt{\frac{21}{2\pi }}(5{\cos }^2\theta -1)\sin \theta \sin \phi$	$\frac{1}{4}\sqrt{\frac{21}{2\pi }}\frac{y(5z^2-r^2)}{r^3}$	${\text{f}}_{y(5z^2-r^2)}$
3	+2	$\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp (2i\phi )$	$\frac{\sqrt{105}}{4}\cos \theta {\sin }^2\theta$	$\{$	$\frac{1}{4}\sqrt{\frac{105}{\pi }}\cos \theta {\sin }^2\theta \cos 2\phi$	$\frac{1}{4}\sqrt{\frac{105}{\pi }}\frac{z(x^2-y^2)}{r^3}$	${\text{f}}_{z(x^2-y^2)}$
3	-2	$\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp (-2i\phi )$	$\frac{\sqrt{105}}{4}\cos \theta {\sin }^2\theta$		$\frac{1}{4}\sqrt{\frac{105}{\pi }}\cos \theta {\sin }^2\theta \sin 2\phi$	$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{105}{\pi }}\frac{xyz}{r^3}$	${\text{f}}_{xyz}$
3	+3	$\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp (3i\phi )$	$\frac{1}{4}\sqrt{\frac{35}{2}}{\sin }^3\theta$	$\{$	$\frac{1}{4}\sqrt{\frac{35}{2\pi }}{\sin }^3\theta \cos 3\phi$	$\frac{1}{4}\sqrt{\frac{35}{2\pi }}\frac{x(x^2-3y^2)}{r^3}$	${\text{f}}_{x(x^2-3y^2)}$
3	-3	$\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp (-3i\phi )$	$\frac{1}{4}\sqrt{\frac{35}{2}}{\sin }^3\theta$		$\frac{1}{4}\sqrt{\frac{35}{2\pi }}{\sin }^3\theta \sin 3\phi$	$\frac{1}{4}\sqrt{\frac{35}{2\pi }}\frac{y(3x^2-y^2)}{r^3}$	${\text{f}}_{y(3x^2-y^2)}$

$l=0$

$Y_0^0(\theta ,\phi )=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{\pi }}$

$l=1$

$Y_1^{-1}(\theta ,\phi )=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2\pi }}\sin \theta e^{-i\phi }$

$Y_1^0(\theta ,\phi )=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{\pi }}\cos \theta$

$Y_1^1(\theta ,\phi )=\frac{-1}{2}\sqrt{\frac{3}{2\pi }}\sin \theta e^{i\phi }$

$l=2$

$Y_2^{-2}(\theta ,\phi )=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{15}{2\pi }}{\sin }^2\theta e^{-2i\phi }$

$Y_2^{-1}(\theta ,\phi )=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{15}{2\pi }}\sin \theta \cos \theta e^{-i\phi }$

$Y_2^0(\theta ,\phi )=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{5}{\pi }}(3{\cos }^2\theta -1)$

$Y_2^1(\theta ,\phi )=\frac{-1}{2}\sqrt{\frac{15}{2\pi }}\sin \theta \cos \theta e^{i\phi }$

$Y_2^2(\theta ,\phi )=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{15}{2\pi }}{\sin }^2\theta e^{2i\phi }$

参见

• 勒让德多项式
• 伴随勒让德多项式
• 施图姆-刘维尔理论
• 柱谐函数
• 向量球諧函數