比值审敛法

Template:ScienceNavigation 比值审敛法（Ratio test）是判别级数敛散性的一种方法，又称为达朗贝尔判别法（Template:Lang）。

定理

比值审敛法判断流程表

设$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$为一级数，如果

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=\rho$，

• 当ρ<1时级数絕對收敛
• 当ρ>1时级数发散
• 当ρ=1时级数可能收敛也可能发散。

证明

如果$\rho <1$，那么存在一个实数$r$以及一个正整数$N$，满足$\rho <r<1$，使得当$n>N$时，总有$|a_{n+1}|<r|a_n|$成立；因此在上述条件下，当$k$为正整数时有$|a_{n+k}|<r^k|a_n|$，于是根据无穷等比数列求和得出下式绝对收敛：

$\sum _{k=N+1}^{\mathrm{\infty }}|a_k|=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|a_{N+k}|<|a_N|\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{r}^k=\frac{|a_N|\cdot r}{1-r}<\mathrm{\infty }$

如果$\rho >1$，那么同样存在一个正整数$N$，使得当$n>N$时，总有$|a_{n+1}|>|a_n|$，求和项的极限不为零，于是级数发散。

而当$\rho =1$时，以$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}$与$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}$为例，结果同样为$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}}\right|=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{\frac{1}{(n+1{)}^2}}{\frac{1}{n^2}}\right|=1$，但前者发散而后者收敛（后者收敛值为$\frac{{\pi }^2}{6}$），该例子可以用比较审敛法来审敛。

例子

收敛

考虑级数

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n}{e^n}$

$\begin{array}{cc}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{\frac{n+1}{e^{n+1}}}{\frac{n}{e^n}}\right|\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }|\frac{n+1}{e^{n+1}}\cdot \frac{e^n}{n}|\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }|\frac{n+1}{n}\cdot \frac{e^n}{e^n\cdot e}|\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }|(1+\frac{1}{n})\cdot \frac{1}{e}|\\ & =1\cdot \frac{1}{e}=\frac{1}{e}<1.\end{array}$

因此该级数收敛。

发散

考虑级数

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{e^n}{n}$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$	=$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{\frac{e^{n+1}}{n+1}}{\frac{e^n}{n}}\right|$
	=$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }|\frac{e^{n+1}}{n+1}\cdot \frac{n}{e^n}|$
	=$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }|\frac{n}{n+1}\cdot \frac{e^n\cdot e}{e^n}|$
	=$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }|(1-\frac{1}{n+1})\cdot e|$
	=$1\cdot e$
	=$e(>1)$

因此该级数发散。

不能确定

级数

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}1$

发散，但

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{1}{1}\right|=1.$

而级数

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}$

收敛，但

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{\frac{1}{(n+1{)}^2}}{\frac{1}{n^2}}\right|=1.$

参见

• 根值审敛法
• 比较审敛法
• 拉比判别法