正扭歪無限面體

Template:NoteTA 在幾何學中，正扭歪無限面體（Template:Lang-en），又稱扭歪正多面體（Template:Lang-ja）是一種頂點並非全部共面的正無限面體，即每個面都全等、每個角也相等的扭歪無限面體。通常扭歪無限面體會具有正扭歪的面或扭歪的頂點圖。

歷史

關於考克斯特，1926年時，約翰·弗林德斯·皮特里將扭歪多邊形（非平面多邊形）的概念推廣到四維空間的扭歪多面體和三維空間的扭歪無限面體。

考克斯特找到了三種形式，他們具有平的面和扭歪的頂點圖，兩者彼此互補。它們都可以用施萊夫利符號的擴展符號{l,m|n}來表示。這個擴展符號{l,m|n}表示每個頂點都是$m$個正$l$邊形的公共頂點，且存在正$n$邊形的空洞。

若一扭歪無限面體是一個正扭歪無限面體，則其施萊夫利符號存在下列等式：

• 2 sin(Template:Pi/l) · sin(Template:Pi/m) = cos(Template:Pi/n)

三維空間的正扭歪無限面體

三維空間中有三種扭歪無限面體，分別為四角六片四角孔扭歪無限面體、六角四片四角孔扭歪無限面體和六角六片三角孔扭歪無限面體。約翰·康威將他們稱為多立方體（Template:Lang-en）、多八面體（Template:Lang-en）和、多四面體（Template:Lang-en），英文中的字首mu-表示「多」（Template:Lang-en）的意思，其意義分別代表「很多立方體」、「很多八面體」以及「很多四面體」。

1. 四角六片四角孔扭歪無限面體（多立方體、Template:Lang-en）：{4,6|4}：每個頂點都是六個正方形的公共頂點
2. 六角四片四角孔扭歪無限面體（多八面體、Template:Lang-en）：{6,4|4}：每個頂點都是四個六邊形的公共頂點
3. 六角六片三角孔扭歪無限面體（多四面體、Template:Lang-en）：{6,6|3}：每個頂點都是六個六邊形的公共頂點

考克斯特給予這些 {2q,2r|p} 形式的扭歪無限面體與抽象群 (2q,2r|2,p) 同構的[[(p,q,p,r)]⁺的手徵對稱性。與之相關的堆砌就具有[[(p,q,p,r)]]的擴展對稱性。

緊空間正扭歪無限面體

考克斯特群 對稱性	無限面體 {p,q|l}	圖像	面 {p}	洞 {l}	頂點圖	相關堆砌
Template:CDD [[4,3,4]] [[4,3,4]+]	{4,6|4} 四角六片四角孔 扭歪無限面體 多立方體	動畫			扭歪六邊形 （黃色部分）	Template:CDD t0,3{4,3,4}
	{6,4|4} 六角四片四角孔 扭歪無限面體 多八面體	動畫			扭歪四邊形 （綠色部分）	Template:CDD 2t{4,3,4}
Template:CDD [[3[4]]] [[3[4]]+]	{6,6|3} 六角六片三角孔 扭歪無限面體 多四面體	動畫			扭歪六邊形 （綠色部分）	Template:CDD Template:Link-en

三維雙曲空間的正扭歪無限面體

1967年時，C. W. L. Garner以類似於在歐式三維空間尋找正扭歪無限面體的方式，發現了31種雙曲空間中具有扭歪多邊形頂點圖的正扭歪無限面體。

14種緊空間正扭歪無限面體

14種緊空間正扭歪無限面體

考克斯特群	無限面體 {p,q|l}	面 {p}	洞 {l}	堆砌	頂點圖		無限面體 {p,q|l}	面 {p}	洞 {l}	堆砌	頂點圖
Template:CDD [3,5,3]	{10,4|3}			Template:CDD Template:Link-en			{4,10|3}			Template:CDD Template:Link-en
Template:CDD [5,3,5]	{6,4|5}			Template:CDD Template:Link-en			{4,6|5}			Template:CDD Template:Link-en
Template:CDD [(4,3,3,3)]	{8,6|3}			Template:CDD ct{(4,3,3,3)}			{6,8|3}			Template:CDD ct{(3,3,4,3)}
Template:CDD [(5,3,3,3)]	{10,6|3}			Template:CDD ct{(5,3,3,3)}			{6,10|3}			Template:CDD ct{(3,3,5,3)}
Template:CDD [(4,3,4,3)]	{8,8|3}			Template:CDD Template:Link-en			{6,6|4}			Template:CDD Template:Link-en
Template:CDD [(5,3,4,3)]	{8,10|3}			Template:CDD ct{(4,3,5,3)}			{10,8|3}			Template:CDD ct{(5,3,4,3)}
Template:CDD [(5,3,5,3)]	{10,10|3}			Template:CDD Template:Link-en			{6,6|5}			Template:CDD Template:Link-en

17種仿緊空間正扭歪無限面體

17種仿緊空間正扭歪無限面體

考克斯特群	無限面體 {p,q|l}	面 {p}	洞 {l}	堆砌	頂點圖		無限面體 {p,q|l}	面 {p}	洞 {l}	堆砌	頂點圖
Template:CDD [4,4,4]	{8,4|4}			Template:CDD Template:Link-en			{4,8|4}			Template:CDD Template:Link-en
Template:CDD [3,6,3]	{12,4|3}			Template:CDD Template:Link-en			{4,12|3}			Template:CDD Template:Link-en
Template:CDD [6,3,6]	{6,4|6}			Template:CDD Template:Link-en			{4,6|6}			Template:CDD Template:Link-en
Template:CDD [(4,4,4,3)]	{8,6|4}			Template:CDD ct{(4,4,3,4)}			{6,8|4}			Template:CDD ct{(3,4,4,4)}
Template:CDD [(4,4,4,4)]	{8,8|4}			Template:CDD Template:Link-en
Template:CDD [(6,3,3,3)]	{12,6|3}			Template:CDD ct{(6,3,3,3)}			{6,12|3}			Template:CDD ct{(3,3,6,3)}
Template:CDD [(6,3,4,3)]	{12,8|3}			Template:CDD ct{(6,3,4,3)}			{8,12|3}			Template:CDD ct{(4,3,6,3)}
Template:CDD [(6,3,5,3)]	{12,10|3}			Template:CDD ct{(6,3,5,3)}			{10,12|3}			Template:CDD ct{(5,3,6,3)}
Template:CDD [(6,3,6,3)]	{12,12|3}			Template:CDD ct{(6,3,6,3)}			{6,6|6}			Template:CDD ct{(3,6,3,6)}

參見

• 扭歪多面體
• 扭歪無限面體
• 無限面體

外部連結

• Template:Mathworld