欧拉乘积

数论中，欧拉乘积（Template:Lang-en）是指狄利克雷级数可表示为一指标为素数的无穷乘积。这一乘积以瑞士数学家莱昂哈德·欧拉的名字命名，他证明了黎曼ζ函数可表示为此无穷乘积的形式。

定义

假设 $a$ 为一积性函数，则狄利克雷级数

\sum_{n} a (n) n^{- s}

等于欧拉乘积

\prod_{p} P (p, s)

其中，乘积对所有素数 $p$ 进行， $P (p, s)$ 则可表示为

1 + a (p) p^{- s} + a (p^{2}) p^{- 2 s} + \dots .

这可以看作形式母函数，形式欧拉乘积展开的存在性与 $a (n)$ 为积性函数两者互为充要条件。

$a (n)$ 为完全积性函数时可得到一重要的特例。此时 $P (p, s)$ 为等比级数，有

P (p, s) = \frac{1}{1 - a (p) p^{- s}},

当 $a (n) = 1$ 时即为黎曼ζ函数，更一般的情形则是狄利克雷特征。

G. Polya, Induction and Analogy in Mathematics Volume 1 Princeton University Press (1954) L.C. Card 53-6388 (A very accessible English translation of Euler's memoir regarding this "Most Extraordinary Law of the Numbers" appears starting on page 91)
Template:Citation (Provides an introductory discussion of the Euler product in the context of classical number theory.)
G.H. Hardy and E.M. Wright, An introduction to the theory of numbers, 5th ed., Oxford (1979) ISBN 0-19-853171-0 (Chapter 17 gives further examples.)
George E. Andrews, Bruce C. Berndt, Ramanujan's Lost Notebook: Part I, Springer (2005), ISBN 0-387-25529-X
G. Niklasch, Some number theoretical constants: 1000-digit values"