林德勒夫引理

在拓扑学中，林德勒夫引理（Lindelöf's lemma）所阐述的是：满足C₂公理和T₃公理的空间也满足T₄公理。

证明

取$X$的一个可数拓扑基$ℬ$。设$F$和$F^{\prime }$是不相交的闭集，构造它们的不相交邻域如下：

对$\mathrm{\forall }x\in F$，则$x\notin F^{\prime }$。由T₃公理可知，有$x$和$F^{\prime }$的不相交邻域$W$和$W^{\prime }$，于是$\overline{W}\cap F^{\prime }=\varnothing$。取$B\in ℬ$，使得$x\in B\subset W$，则$\overline{B}\cap F^{\prime }=\varnothing$。记$\{B_1,B_2,\cdots \}$是$ℬ$中所有闭包与$F^{\prime }$不相交的成员，上面已证明$F\subset \bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{B}_n$。记$\{{B_1}^{\prime },{B_2}^{\prime },\cdots \}$是$ℬ$中所有闭包与$F$不相交的成员，则$F^{\prime }\subset \bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{B_n}^{\prime }$。

记$U_n=B_n\setminus \bigcup _{i=1}^n\overline{{B_i}^{\prime }}$，$V_n={B_n}^{\prime }\setminus \bigcup _{i=1}^n\overline{B_i}(n=1,2,\cdots )$，则$U_n$和$V_n$都是开集，并且$\mathrm{\forall }n,m,U_n\cap V_m=\varnothing$。令$U=\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{U}_n$，$V=\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{V}_n$，则$U\cap V=\bigcup _{n,m=1}^{\mathrm{\infty }}(U_n\cap V_m)=\varnothing$。设$x\in F$，则存在$n$，使得$x\in B_n$，从而$x\in U_n\subset U$。因此$U$是$F$的开邻域，同理$V$是$F^{\prime }$的开邻域。从而$U$和$V$是$F$和$F^{\prime }$的不相交邻域，空间$X$满足T₄公理。

参见

• 点集拓扑学
• 分离公理
• 可数性公理

参考

• 《基础拓扑学讲义》尤承业 P42、43