权方和不等式

Template:Lead section 权方和不等式是一种分式不等式。

$a_i,b_i>0$

$\{\begin{array}{c}\sum _{i=1}^n\frac{a_i^{m+1}}{b_i^m}\ge \frac{(\sum _{i=1}^n{a}_i{)}^{m+1}}{(\sum _{i=1}^n{b}_i{)}^m},m<-1,m>0\\ \sum _{i=1}^n\frac{a_i^{m+1}}{b_i^m}\le \frac{(\sum _{i=1}^n{a}_i{)}^{m+1}}{(\sum _{i=1}^n{b}_i{)}^m},-1<m<0\end{array}$

取等条件：$\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=...=\frac{a_n}{b_n}$

证明

利用伯努利不等式：

$s=\frac{1}{a_1+a_2+...+a_n},t=\frac{1}{b_1+b_2+...+b_n}$

m<-1 或 m>0时

$\sum _{i=1}^n\frac{(s{a}_i{)}^{m+1}}{(t{b}_i{)}^m}=\sum _{i=1}^{n}t{b}_i(\frac{s{a}_i}{t{b}_i}{)}^{m+1}\ge \sum _{i=1}^{n}t{b}_i[1+(m+1)(\frac{s{a}_i}{t{b}_i}-1)]$

$=\sum _{i=1}^{n}t{b}_i[(m+1)\frac{s{a}_i}{t{b}_i}-m]=\sum _{i=1}^n(m+1)s{a}_i-mt{b}_i=m+1-m=1$

$\sum _{i=1}^n\frac{a_i^{m+1}}{b_i^m}\ge \frac{t^m}{s^{m+1}}=\frac{(\sum _{i=1}^n{a}_i{)}^{m+1}}{(\sum _{i=1}^n{b}_i{)}^m}$

-1<m<0时

$\sum _{i=1}^n\frac{(s{a}_i{)}^{m+1}}{(t{b}_i{)}^m}=\sum _{i=1}^{n}t{b}_i(\frac{s{a}_i}{t{b}_i}{)}^{m+1}\le \sum _{i=1}^{n}t{b}_i[1+(m+1)(\frac{s{a}_i}{t{b}_i}-1)]$

$=\sum _{i=1}^{n}t{b}_i[(m+1)\frac{s{a}_i}{t{b}_i}-m]=\sum _{i=1}^n(m+1)s{a}_i-mt{b}_i=m+1-m=1$

$\sum _{i=1}^n\frac{a_i^{m+1}}{b_i^m}\le \frac{t^m}{s^{m+1}}=\frac{(\sum _{i=1}^n{a}_i{)}^{m+1}}{(\sum _{i=1}^n{b}_i{)}^m}$

参见

• 赫尔德不等式