有限应变理论

Template:NoteTA Template:Refimprove Template:Expand english 有限应变理论（finite strain theory）也稱為大應變理論或大形變理論，是连续介质力学中處理有較大應變或轉動的形變，已不符合无限小应变理论假設下的理論。此情形下，物體在未形變的組態及已形變的組態有明顯的不同。有限应变理论常用於弹性体、塑性變形材料、流体及生物軟組織。

位移梯度張量

連續體的形變

位移梯度張量（deformation gradient tensor）$𝐅(𝐗,t)=F_{jK}{𝐞}_j\otimes {𝐈}_K$和形變前的組態以及目前的組態有關，可以從單位向量${𝐞}_j$和${𝐈}_K$中看出，因此其為Template:Le。

可以定義二種位移梯度張量。

假設$\chi (𝐗,t)$有連續性，則$𝐅$存在逆元素$𝐇={𝐅}^{-1}$，其中$𝐇$為空間位移梯度張量（spatial deformation gradient tensor）。 根據隐函数定理，其雅可比判別式$J(𝐗,t)$是非奇點，也就是$J(𝐗,t)=\det 𝐅(𝐗,t)\ne 0$。

物質位移梯度張量（material deformation gradient tensor）$𝐅(𝐗,t)=F_{jK}{𝐞}_j\otimes {𝐈}_K$表示映射函數或是泛函關係$\chi (𝐗,t)$梯度的二維張量（ 映射函數或是泛函關係$\chi (𝐗,t)$描述連續介質的運動）。材料位移梯度張量可以說明位置向量為$𝐗$的物質點的局部形變（也就是相對鄰近點的形變），其作法是對一個點的物質線元素進行线性映射，從原始組態映射到形變後的組態，其中也是假設映射函數$\chi (𝐗,t)$的連續性，也就是其為$𝐗$和時間$t$的可微函数，也就是其形變不會讓crack或是void打開或是關閉。因此可得 $$\begin{array}{cccc}d𝐱& =\frac{\partial 𝐱}{\partial 𝐗}d𝐗& \text{or}& d{x}_j=\frac{\partial x_j}{\partial X_K}d{X}_K\\ & =\mathrm{\nabla }\chi (𝐗,t)d𝐗& \text{or}& d{x}_j=F_{jK}d{X}_K.\\ & =𝐅(𝐗,t)d𝐗\end{array}$$

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外部連結

• Prof. Amit Acharya's notes on compatibility on iMechanica Template:Wayback