有序交換群

定義

有序交換群係指一對 $(\mathrm{\Gamma },>)$，其中 $\mathrm{\Gamma }$ 為交換群，$>$ 為其上的一個二元關係，且滿足如下條件：

• 若 $a<0$，則 $-a>0$。
• 若 $a,b>0$，則 $a+b>0$。

另一種等價的描述是：給定一個子集 ${\mathrm{\Gamma }}_{+}\subset \mathrm{\Gamma }$，使得 ${\mathrm{\Gamma }}_{+}$ 對加法封閉，且 $\mathrm{\Gamma }={\mathrm{\Gamma }}_{+}\cup \{0\}\cup -{\mathrm{\Gamma }}_{+}$。

若對於每個 $x\in \mathrm{\Gamma }$ 都存在 $n\in \mathbb{Z}$ 使得 $n\cdot 1>x$，則稱 $(\mathrm{\Gamma },>)$ 滿足阿基米德性質。

範例與基本性質

• 由上述公理可推出：對於每個 $x\in \mathrm{\Gamma },x\ne 0$ 都有 $x^2>0$。
• $\mathbb{Z},ℝ,{ℝ}^{*}$ 都是有序交換群且滿足阿基米德性質。
• 若 $(\mathrm{\Gamma },{>}_1),({\mathrm{\Gamma }}_2,{>}_2)$ 為有序交換群，則 ${\mathrm{\Gamma }}_1\times {\mathrm{\Gamma }}_2$ 配合其字典序也構成一個有序交換群。
• $(\mathrm{\Gamma },>)$ 滿足阿基米德性質的充要條件是它可以嵌入 $(ℝ,+)$。

參見

• 序理論
• 環