普朗克單位制

馬克斯·普朗克

普朗克單位制是一種計量單位制度，由德國物理學家馬克斯·普朗克最先提出，因此命名為普朗克單位制。這種單位制是自然單位制的一個實例，將某些基礎物理常數的值定為1，這些基礎物理常數是：

• 真空光速$c$
• 萬有引力常數$G$
  • 普朗克勞侖茲-黑維塞單位制將$4\pi G$定為1，普朗克高斯單位制將$G$定為1
• 狄拉克常數$\hslash$
• 真空電容率${ϵ}_0$
  • 普朗克勞侖茲-黑維塞單位制將${ϵ}_0$定為1，普朗克高斯單位制將$4\pi {ϵ}_0$定為1
• 波茲曼常數$k_B$

上述每一個常數都至少出現於一個基本物理理論：$c$在狹義相對論、$G$在廣義相對論與牛頓的萬有引力定律、$\hslash$在量子力學、${ϵ}_0$在靜電學、$k_B$在統計力學與熱力學。实际上，以上的五个常数在許多物理定律的代數表達式中多次出现，因此引入普朗克單位制可以将這些代數表達式简化，普朗克單位制也因此成为了理論物理學一個非常有用的工具。在統一理論方面的研究，特別如量子重力學中，普朗克單位制能夠給研究者一點大概的提示。

普朗克單位制是一種獨特的自然單位制，因為普朗克單位制不是以任何原器、人體的性質（例如：發光強度（燭光）、光通量（流明）、等效劑量（西弗））、地球或宇宙的性質（例如：標準重力、標準大氣壓、哈伯常數）、特定物質的性質（例如：水的熔點、水的密度、水的比熱）、或甚至基本粒子的性質（例如：基本電荷、電子質量、質子質量）來定義的。普朗克單位制只以自由空間的性質（例如：真空光速、自由空間阻抗、波茲曼常數）來定義及作為歸一化對象。

有些學者認為普朗克單位制比其它自然單位制更為自然。例如，有些其它自然單位制使用電子質量為基本單位。但是電子只是許多種已知具有質量的基本粒子之一。這些粒子的質量都不一樣。在基礎物理學裏，並沒有任何絕對因素，促使選擇電子質量為基本單位，而不選擇其它粒子質量。

物質的量（莫耳）的自然單位就用「個」（一個就是1）就可以了，不必用到「莫耳」，而發光強度（燭光）的自然單位就用「瓦特/立弳」就可以了，因為這兩者的比值僅為發光效率，而發光效率是沒有單位因次的，就跟角度（弳）以及精細結構常數一樣，另外電荷的部分，雖然SI制的基本單位是電流而非電荷，但是實際上，電荷才是更基本的單位（就好比重力米制的基本單位是力而非質量，但是實際上，質量才是更基本的單位）。

（或者你也可以這樣說：普朗克單位制也將亞佛加厥常數$N_A$定為1，從而用「個」（一個就是1）作為物質的量的單位（對應國際單位制的莫耳），並且普朗克單位制不考慮發光強度（對應國際單位制的燭光），僅以輻射強度（對應國際單位制的「瓦特每立弳」來表示，就好比普朗克單位制不考慮等效劑量（對應國際單位制的西弗），僅以輻射劑量（對應國際單位制的戈雷）來表示，在普朗克單位制中，發光效率屬於無因次量，就跟弧度和立弳一樣）

基本普朗克單位

每一個單位制都有一組基本單位。（在國際單位制裏，長度的基本單位是公尺，時間的基本單位是秒，等等）在普朗克單位制裏，長度的基本單位是普朗克長度，時間的基本單位是普朗克時間，等等。這些單位都是由表1的五個基礎物理常數衍生的。表2展示出這些基本普朗克單位。

表1：基礎物理常數

常數	符號	因次	國際單位等值與不確定度
真空光速	$c$	LT−1	Template:Nowrap
萬有引力常數	$G$	L3M−1T−2	Template:Nowrap
約化普朗克常數	$\hslash$	L2MT−1	Template:Nowrap
真空電容率	${ϵ}_0$	L−3M−1T2Q2	Template:Nowrap
波茲曼常數	$k_B$	L2MT−2Θ−1	Template:Nowrap

字鍵：$\mathrm{L}$ = 長度，$\mathrm{T}$ = 時間，$\mathrm{M}$ = 質量，$\mathrm{Q}$ = 電荷，$\mathrm{\Theta }$ = 溫度。因為定義的關係，光速、約化普朗克常數與波茲曼常數的數值是精確值，不存在誤差（在2019年以前，約化普朗克常數與波茲曼常數的數值還不是精確值，反倒真空電容率的數值是精確值，只有光速從1983年以來一直都是精確值，見2019年國際單位制基本單位重新定義）。

表2：基本普朗克單位

單位名稱	因次	表達式		國際單位制等值
		普朗克勞侖茲-黑維塞單位制	普朗克高斯單位制	普朗克勞侖茲-黑維塞單位制	普朗克高斯單位制
普朗克長度	長度 (L)	$l_{\text{P}}=\sqrt{\frac{4\pi \hslash G}{c^3}}$	$l_{\text{P}}=\sqrt{\frac{\hslash G}{c^3}}$	Template:Val m	Template:Val m
普朗克質量	質量 (M)	$m_{\text{P}}=\sqrt{\frac{\hslash c}{4\pi G}}$	$m_{\text{P}}=\sqrt{\frac{\hslash c}{G}}$	Template:Val kg	Template:Val kg
普朗克時間	時間 (T)	$t_{\text{P}}=\sqrt{\frac{4\pi \hslash G}{c^5}}$	$t_{\text{P}}=\sqrt{\frac{\hslash G}{c^5}}$	Template:Val s	Template:Val s
普朗克電荷	電荷 (Q)	$q_{\text{P}}=\sqrt{\hslash c{ϵ}_0}$	$q_{\text{P}}=\sqrt{4\pi \hslash c{ϵ}_0}$	Template:Val C	Template:Val C
普朗克溫度	溫度 (Θ)	$T_{\text{P}}=\sqrt{\frac{\hslash c^5}{4\pi G{k_{\text{B}}}^2}}$	$T_{\text{P}}=\sqrt{\frac{\hslash c^5}{G{k_{\text{B}}}^2}}$	Template:Val K	Template:Val K

使用普朗克單位後，表1的五個基礎物理常數的數值都約化為1，因此表2的普朗克長度，普朗克質量，普朗克時間，普朗克電荷，與普朗克溫度這些計量也都約化為1。這可以無因次地表達為

（普朗克勞侖茲-黑維塞單位制）因為$c=4\pi G=\hslash ={ϵ}_0=k_B=1$，所以$l_{\text{P}}=m_{\text{P}}=t_{\text{P}}=q_{\text{P}}=T_{\text{P}}=1$。

（普朗克高斯單位制）因為$c=G=\hslash =\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}=k_B=1$，所以$l_{\text{P}}=m_{\text{P}}=t_{\text{P}}=q_{\text{P}}=T_{\text{P}}=1$。

衍生普朗克單位

在任何單位系統裏，許多物理量的單位是由基本單位衍生的。表3展示了一些在理論物理研究裏常見的衍生普朗克單位。實際上，大多數普朗克單位不是太大，就是太小，並不適合於實驗或任何實際用途。

表3：衍生普朗克單位

單位名稱	因次	表達式		國際單位制等值
		普朗克勞侖茲-黑維塞單位制	普朗克高斯單位制	普朗克勞侖茲-黑維塞單位制	普朗克高斯單位制
普朗克面積	面積（L2）	$A_{\text{P}}=l_{\text{P}}^2=\frac{4\pi \hslash G}{c^3}$	$A_{\text{P}}=l_{\text{P}}^2=\frac{\hslash G}{c^3}$	Template:Val m2	Template:Val m2
普朗克動量	動量（LMT−1）	$p_{\text{P}}=m_{\text{P}}{v}_{\text{P}}=\frac{\hslash }{l_{\text{P}}}=\sqrt{\frac{\hslash c^3}{4\pi G}}$	$p_{\text{P}}=m_{\text{P}}{v}_{\text{P}}=\frac{\hslash }{l_{\text{P}}}=\sqrt{\frac{\hslash c^3}{G}}$	Template:Val N⋅s	Template:Val N⋅s
普朗克能量	能量（L2MT−2）	$E_{\text{P}}=m_{\text{P}}{v}_{\text{P}}^2=\frac{\hslash }{t_{\text{P}}}=\sqrt{\frac{\hslash c^5}{4\pi G}}$	$E_{\text{P}}=m_{\text{P}}{v}_{\text{P}}^2=\frac{\hslash }{t_{\text{P}}}=\sqrt{\frac{\hslash c^5}{G}}$	Template:Val J	Template:Val J
普朗克力	力（LMT−2）	$F_{\text{P}}=m_{\text{P}}{a}_{\text{P}}=\frac{p_{\text{P}}}{t_{\text{P}}}=\frac{c^4}{4\pi G}$	$F_{\text{P}}=m_{\text{P}}{a}_{\text{P}}=\frac{p_{\text{P}}}{t_{\text{P}}}=\frac{c^4}{G}$	Template:Val N	Template:Val N
普朗克功率	功率（L2MT−3）	$P_{\text{P}}=\frac{E_{\text{P}}}{t_{\text{P}}}=\frac{\hslash }{t_{\text{P}}^2}=\frac{c^5}{4\pi G}$	$P_{\text{P}}=\frac{E_{\text{P}}}{t_{\text{P}}}=\frac{\hslash }{t_{\text{P}}^2}=\frac{c^5}{G}$	Template:Val W	Template:Val W
普朗克密度	密度（L−3M）	$d_{\text{P}}=\frac{m_{\text{P}}}{V_{\text{P}}}=\frac{\hslash t_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^5}=\frac{c^5}{16{\pi }^2\hslash G^2}$	$d_{\text{P}}=\frac{m_{\text{P}}}{V_{\text{P}}}=\frac{\hslash t_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^5}=\frac{c^5}{\hslash G^2}$	Template:Val kg/m3	Template:Val kg/m3
普朗克角頻率	角頻率（T−1）	${\omega }_{\text{P}}=\frac{{\theta }_{\text{P}}}{t_{\text{P}}}=\sqrt{\frac{c^5}{4\pi \hslash G}}$	${\omega }_{\text{P}}=\frac{{\theta }_{\text{P}}}{t_{\text{P}}}=\sqrt{\frac{c^5}{\hslash G}}$	Template:Val rad/s	Template:Val rad/s
普朗克壓力	壓力（L−1MT−2）	${\mathrm{\Pi }}_{\text{P}}=\frac{F_{\text{P}}}{A_{\text{P}}}=\frac{\hslash }{l_{\text{P}}^3{t}_{\text{P}}}=\frac{c^7}{16{\pi }^2\hslash G^2}$	${\mathrm{\Pi }}_{\text{P}}=\frac{F_{\text{P}}}{A_{\text{P}}}=\frac{\hslash }{l_{\text{P}}^3{t}_{\text{P}}}=\frac{c^7}{\hslash G^2}$	Template:Val Pa	Template:Val Pa
普朗克電流	電流（T−1Q）	$i_{\text{P}}=\frac{q_{\text{P}}}{t_{\text{P}}}=\sqrt{\frac{c^6{ϵ}_0}{4\pi G}}$	$i_{\text{P}}=\frac{q_{\text{P}}}{t_{\text{P}}}=\sqrt{\frac{4\pi c^6{ϵ}_0}{G}}$	Template:Val A	Template:Val A
普朗克電壓	電壓（L2MT−2Q−1）	$U_{\text{P}}=\frac{E_{\text{P}}}{q_{\text{P}}}=\frac{P_{\text{P}}}{i_{\text{P}}}=\sqrt{\frac{c^4}{4\pi G{ϵ}_0}}$		Template:Val V
普朗克阻抗	阻抗（L2MT−1Q−2）	$Z_{\text{P}}=\frac{U_{\text{P}}}{i_{\text{P}}}=\frac{\hslash }{q_{\text{P}}^2}=\frac{1}{c{ϵ}_0}=c{\mu }_0=\sqrt{\frac{{\mu }_0}{{ϵ}_0}}=Z_0=\frac{1}{Y_0}$	$Z_{\text{P}}=\frac{U_{\text{P}}}{i_{\text{P}}}=\frac{\hslash }{q_{\text{P}}^2}=\frac{1}{4\pi c{ϵ}_0}=\frac{c{\mu }_0}{4\pi }=\sqrt{\frac{{\mu }_0}{16{\pi }^2{ϵ}_0}}=\frac{Z_0}{4\pi }=\frac{1}{4\pi Y_0}$	Template:Val Ω	Template:Val Ω

註：$Z_0$為自由空間阻抗，$Y_0$為自由空間導納。

簡化物理方程式

嚴格地說，不同因次的物理量，雖然它們的數值可能相等，仍舊不能用在相等式的兩邊。但是，在理論物理學裏，為了簡化運算，我們可以把這顧慮放在一邊。簡化的過程稱為無因次化。表4展示出普朗克單位怎樣通过無因次化使許多物理方程式變得更簡單。

表4：物理方程式與其無因次形式

	通常形式（國際單位制形式）	普朗克勞侖茲-黑維塞單位制形式	普朗克高斯單位制形式
萬有引力定律	$F=-G\frac{m_1{m}_2}{r^2}$	$F=-\frac{m_1{m}_2}{4\pi r^2}$	$F=-\frac{m_1{m}_2}{r^2}$
薛丁格方程式	$-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2\psi (𝐫,t)+V(𝐫,t)\psi (𝐫,t)$ $=i\hslash \frac{\partial \psi }{\partial t}(𝐫,t)$	$-\frac{1}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2\psi (𝐫,t)+V(𝐫,t)\psi (𝐫,t)$ $=i\frac{\partial \psi }{\partial t}(𝐫,t)$
普朗克關係式	$E=\hslash \omega$	$E=\omega$
狹義相對論的質能方程式	$E=m{c}^2$	$E=m$
廣義相對論的愛因斯坦場方程式	$G_{\mu \nu }=8\pi \frac{G}{c^4}{T}_{\mu \nu }$	$G_{\mu \nu }=2T_{\mu \nu }$	$G_{\mu \nu }=8\pi T_{\mu \nu }$
一個粒子的每個自由度的熱能	$E=\frac{1}{2}{k}_{B}T$	$E=\frac{1}{2}T$
庫侖定律	$F=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{q_1{q}_2}{r^2}$	$F=\frac{q_1{q}_2}{4\pi r^2}$	$F=\frac{q_1{q}_2}{r^2}$
麦克斯韦方程組	$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄=\frac{1}{{ϵ}_0}\rho$ $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁=0$ $\mathrm{\nabla }\times 𝐄=-\frac{\partial 𝐁}{\partial t}$ $\mathrm{\nabla }\times 𝐁={\mu }_0𝐉+{\mu }_0{ϵ}_0\frac{\partial 𝐄}{\partial t}$	$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄=\rho$ $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁=0$ $\mathrm{\nabla }\times 𝐄=-\frac{\partial 𝐁}{\partial t}$ $\mathrm{\nabla }\times 𝐁=𝐉+\frac{\partial 𝐄}{\partial t}$	$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄=4\pi \rho$ $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁=0$ $\mathrm{\nabla }\times 𝐄=-\frac{\partial 𝐁}{\partial t}$ $\mathrm{\nabla }\times 𝐁=4\pi 𝐉+\frac{\partial 𝐄}{\partial t}$

參閱

• 因次分析
• 物理常數
• 普朗克尺寸
• 普朗克粒子
• 普朗克紀元
• 勞侖茲-黑維塞單位制
• 高斯單位制
• 國際單位制

參考文獻

来源

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外部連結

• NIST 的基本物理常數數值列表，包括普朗克單位。 Template:Wayback