惠泰克函数

WhittakerM function

Whittaker W function

惠泰克函数，惠泰克1904推導合流超几何函数，是下列惠泰克方程的解

$\frac{d^{2}w}{d{z}^2}+(-\frac{1}{4}+\frac{\kappa }{z}+\frac{1/4-{\mu }^2}{z^2})w=0.$

此方程在 0 有用正则奇点，在 ∞ 有非正则奇点.

惠泰克方程有两个解

M 与 U ：

$M_{\kappa ,\mu }\left(z\right)=\exp (-z/2)z^{\mu +\frac{1}{2}}M(\mu -\kappa +\frac{1}{2},1+2\mu ;z)$

$W_{\kappa ,\mu }\left(z\right)=\exp (-z/2)z^{\mu +\frac{1}{2}}U(\mu -\kappa +\frac{1}{2},1+2\mu ;z).$

级数展开

惠塔克M函数

$WhittakerM=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(1/2-a+b{)}_k*z^{b+1/2+k}}{e^{z/2}*k!*(1+2b{)}_k}$

$[WhittakerW(a,b,z)=\sum {|}_{k1=0}^{\mathrm{\infty }}(-Pi*(z^{(}b+1/2{+}_{k}1)*\mathrm{\Gamma }(1/2-a+b{+}_{k}1)*\mathrm{\Gamma }(1-2*b{+}_{k}1)-\mathrm{\Gamma }(1/2-a-b{+}_{k}1)*z^{(}-b+1/2{+}_{k}1)*\mathrm{\Gamma }{(}_{k}1+1+2*b))/(GAMMA{(}_{k}1+1)*GAMMA(1/2-a+b)*GAMMA(1/2-a-b)*sin(2*Pi*b)*GAMMA{(}_{k}1+1+2*b)*exp((1/2)*z)*GAMMA(1-2*b{+}_{k}1)){,}_{k}1=0..infinity),And(b::(Not(nonposint)),(1/2-a+b)::(Not(nonposint)),(1/2-a-b)::(Not(nonposint)),abs(z)<1)]$