布朗运动

模擬的大顆粒塵埃粒子碰撞到更小的粒子，而其以不同的速度在不同方向移動的布朗運動。

粒子的立體空間進行布朗運動的示意圖。

布朗运动（Template:Lang-en）是微小粒子或者颗粒在流体中做的无规则运动。布朗运动过程是一种正态分布的独立增量连续随机过程。它是随机分析中基本概念之一。其基本性质为：布朗运动W(t)是期望为0、方差为t（时间）的正态随机变量。对于任意的r小于等于s，W(t)-W(s)独立于的W(r)，且是期望为0、方差为t-s的正态随机变量。可以证明布朗运动是马尔可夫过程、鞅过程和伊藤过程。

它是在西元1827年英國植物學家罗伯特·布朗利用一般的顯微鏡觀察懸浮於水中由花粉所迸裂出之微粒時，發現微粒會呈現不規則狀的運動，因而稱它布朗運動。布朗運動也能測量原子的大小，因為就是由水中的水分子對微粒的碰撞產生的，而不規則的碰撞越明顯，就是原子愈小，因此根據布朗運動，定義原子的直徑為10^-8厘米。

定義

自1860年以來，許多科學家都在研究此種現象，後來發現布朗運動有下列的主要特性：

1. 粒子的運動由平移及轉移所構成，顯得非常沒規則而且其軌跡幾乎是處處沒有切線。
2. 粒子之移動顯然互不相關，甚至於當粒子互相接近至比其直徑小的距離時也是如此。
3. 粒子越小或液體粘性越低或溫度越高時，粒子的運動越活潑。
4. 粒子的成分及密度對其運動沒有影響。
5. 粒子的運動永不停止。

愛因斯坦的理論

在1905年，爱因斯坦提出了相关理论。他的理論有兩個部分：第一部分定義布朗粒子擴散方程式，其中的擴散係數與布朗粒子平均平方位移相關，而第二部分連結擴散係數與可測量的物理量。以此方式，愛因斯坦的理論可決定原子的大小，一莫耳有多少原子，或氣體的克分子量。根據阿伏伽德罗定律，所有理想氣體在標準溫度和壓力下體積為22.414升，其中包含的原子的數目被稱為「阿伏伽德罗常数」。由氣體的莫耳質量除以阿伏伽德罗常数等同原子量。

爱因斯坦论证的第一部分是，确定布朗粒子在一定的时间内运动的距离。Template:Citation needed 经典力学无法确定这个距离，因为布朗粒子将会受到大量的撞击，每秒大约发生 10¹⁴ 次撞击。 因此，爱因斯坦将之简化，即讨论一个布朗粒子团的运动Template:Citation needed。

他把粒子在一个的空间中，把布朗粒子在一维方向上的运动增量 (x) 视作一个随机值（$\mathrm{\Delta }$ 或者 x，并对其坐标进行变换，让原点成为粒子运动的初始位置）并给出概率密度函数 $\phi (\mathrm{\Delta })$。另外，他假设粒子的数量有限，并扩大了密度（单位体积内粒子数量)，展开成泰勒级数 。

$\begin{array}{cc}\rho (x,t)+\tau \frac{\partial \rho (x)}{\partial t}+\cdots =\rho (x,t+\tau )=& \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\rho (x+\mathrm{\Delta },t)\cdot \phi (\mathrm{\Delta })\mathrm{d}\mathrm{\Delta }\\ =& \rho (x,t)\cdot \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\phi (\mathrm{\Delta })d\mathrm{\Delta }+\frac{\partial \rho }{\partial x}\cdot \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{\Delta }\cdot \phi (\mathrm{\Delta })\mathrm{d}\mathrm{\Delta }\\ & +\frac{{\partial }^2\rho }{\partial x^2}\cdot \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\mathrm{\Delta }}^2}{2}\cdot \phi (\mathrm{\Delta })\mathrm{d}\mathrm{\Delta }+\cdots \\ =& \rho (x,t)\cdot 1+0+\frac{{\partial }^2\rho }{\partial x^2}\cdot \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\mathrm{\Delta }}^2}{2}\cdot \phi (\mathrm{\Delta })\mathrm{d}\mathrm{\Delta }+\cdots \end{array}$

第一行中的第二个等式是被 $\phi$ 这个函数定义的。第一项中的积分等于一个由概率定义函数，第二项和其他偶数项（即第一项和其他奇数项）由于空间对称性而消失。化简可以得到以下关系关系：

$\frac{\partial \rho }{\partial t}=\frac{{\partial }^2\rho }{\partial x^2}\cdot \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\mathrm{\Delta }}^2}{2\tau }\cdot \phi (\mathrm{\Delta })\mathrm{d}\mathrm{\Delta }+\text{(更 高 阶 的 项 )}$

拉普拉斯算子之前的系数，是下一刻的随机位移量 $\mathrm{\Delta }$，让 D 为质量扩散系数：

$D=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\mathrm{\Delta }}^2}{2\tau }\cdot \phi (\mathrm{\Delta })\mathrm{d}\mathrm{\Delta }$

那么在 t 时刻 x 处的布朗粒子密度 ρ 满足扩散方程：

$\frac{\partial \rho }{\partial t}=D\cdot \frac{{\partial }^2\rho }{\partial x^2},$

假設在初始時刻t = 0時，所有的粒子從原點開始運動，擴散方程的解

$\rho (x,t)=\frac{{\rho }_0}{\sqrt{4\pi Dt}}{e}^{-\frac{x^2}{4Dt}}.$

数学模型

定义

满足下列条件的鞅我们称之为布朗运动

1. 这个鞅是关于时间连续的。
2. 他的平方减去时间项也是一个鞅。

$(M_t)$是一个布朗运动当且仅当$(M_t)$为鞅，且$(M_t^2-t)$也为鞅.

其他定义

3000步的2维布朗运动的模拟。

File:Brownien3d.ogv

一维的定义

一维布朗运动$(B_t{)}_{t\ge 0}$是关于时间t的一个随机过程，他满足 ：

1. （独立增量）设时间t和s满足t > s,增量$B_t-B_s$独立于时间s前的过程$(B_u{)}_{0\le u\le s}$。
2. （稳定增量和正态性）设时间t和s满足t > s,增量$B_t-B_s$服从均值为0方差为t−s的正态分布。
3. $(B_t{)}_{t\ge 0}$几乎处处连续， 也就是说在任何可能性下， 函数$t\mapsto B_t(\omega )$是连续的.
4. 通常假设$B_0=0$。这种布朗运动我们称它为标准的。

等价定义

一维布朗运动$(B_t{)}_{t\ge 0}$是关于时间t的一个随机过程，他满足 ：

1. $(B_t{)}_{t\ge 0}$是一个高斯过程，也就是说对于所有的时间列：$t_1\le t_2\le ...\le t_n$,随机向量：$(B_{t_1},B_{t_2},...,B_{t_n})$服从高维高斯分布（正态分布）。
2. $(B_t{)}_{t\ge 0}$几乎处处连续。
3. 对于所有s和t,均值$𝔼[B_t]=0$，协方差$E[B_s{B}_t]=min(s,t)$.

高维定义

$(B_t{)}_{t\ge 0}:={(B_t^1,B_t^2,...,B_t^d)}_{t\ge 0}$是d维布朗运动，只需满足$B^1,B^2,...,B^d$为独立的布朗运动。

换句话说，d维布朗运动 取值于${ℝ}^d$，而它在$ℝ,{ℝ}^2,...,{ℝ}^{d-1}$空间上的投影均为布朗运动。

Wiener测度的定义

设$𝒞({ℝ}^{+},ℝ)$为从${ℝ}^{+}$到$ℝ$的连续函数空间，$(\mathrm{\Omega },𝒯,\mathbb{P})$为概率空间。布朗运动为映射

$B:\mathrm{\Omega }⟶C({ℝ}^{+},ℝ)$

          $\omega \mapsto (t\mapsto B_t(\omega ))$.

Wiener测度 （或称为布朗运动的分布）设为$W(d\omega )$,是映射B关于$\mathbb{P}(d\omega )$的图测度。

换句话说， W是$𝒞({ℝ}^{+},ℝ)$上的一个概率测度，满足对于任何$A\subset 𝒞({ℝ}^{+},ℝ)$，有

$W(A)=\mathbb{P}((B_t{)}_{t\ge 0}\in A)$。

备忘

• 布朗运动是一种增量服从正态分布的萊維過程。
• 这个定义可以帮助我们证明布朗运动的很多特性，比如几乎处处连续，轨迹几乎处处不可微等等。
• 我们可以利用二次变差的期望为时间来等价定义布朗运动。这个定义由Levy定理演化而来， 即： 轨迹连续且二次变差为$t$的随机过程为布朗运动。

性质

• 布朗运动的轨道几乎处处不可微：对于任何$\omega \in \mathrm{\Omega }$,轨道$t\mapsto B_t(\omega )$为一个连续但是零可微的函数。
• 协方差$𝔼[B_s{B}_t]=min(s,t)$。
• 布朗运动具有强马氏性： 对于停时T,取条件$[T<\mathrm{\infty }]$,过程$(B_t^T{)}_{t\ge 0}:=(B_{T+t}-B_T{)}_{t\ge 0}$为一个独立于$(B_s{)}_{0\le s<T}$的布朗运动。
• 它的Fourier变换或特征函数为$𝔼\left[e^{iu{B}_t}\right]=e^{-\frac{t{u}^2}{2}}$。可见，布朗运动是一个无偏，无跳跃，二项系数为1/2的Levy过程。
• 布朗运动关于时间是齐次的： 对于s > 0, $(B_{t+s}-B_s{)}_{t\ge 0}$是一个独立于$(B_u{)}_{0\le u\le s}$的布朗运动。
• -B是一个布朗运动。
• （稳定性） 对于c > 0， ${\left(c{B}_{\frac{t}{c^2}}\right)}_{t\ge 0}$是布朗运动。
• （时间可逆性）${\left(t{B}_{\frac{1}{t}}\right)}_{t>0}$在t=0之外是布朗运动。
• （常返性）只有1维和2维布朗运动是常返的：

      如果$d\in \{1,2\}$,集合$\{t\ge 0,B_t=x\}$不是有界的，对于任何$x\in {ℝ}^d$，

      如果$d\ge 3,\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }||B_t||=+\mathrm{\infty }$（几乎处处）。

• （反射原理）

$\mathbb{P}[\underset{0\le s\le t}{\sup }{B}_s\ge a]=2\mathbb{P}[B_t\ge a]=\mathbb{P}[|B_t|\ge a].$

布朗运动的数学构造

利用Kolmogorov一致性定理

设$(f_t{)}_{t\in {ℝ}_{+}}$为$L^2({ℝ}_{+})$空间中一列实值函数。设：

$\mathrm{\forall }(u,v)\in {ℝ}_{+}\text{, }s(u,v)={⟨f_u,f_v⟩}_{L^2({ℝ}_{+})}=\underset{{ℝ}_{+}}{\int }{f}_u(x)f_v(x)dx$

这列函数满足：

$\mathrm{\forall }k\in {\mathbb{N}}^{*}$，任意的$t_1,...,t_k\in {ℝ}_{+}$,矩阵${(s(t_i,t_j))}_{1\le i,j\le k}$为对称半正定的。

利用Kolmogorov一致性定理，我们可以构造高斯过程$\{Y_t{\}}_{t\in {ℝ}_{+}}$，它的均值$m$任意， 协方差为上面定义的$s$。

当$(f_t{)}_{t\in {ℝ}_{+}}={(\sqrt{c}.11_{[0,t]})}_{t\in {ℝ}_{+}}$，$c>0$为不依赖于t的常数，$11_{[0,t]}$为$[0,t]$上的示性函数。则：

$s(u,v)=c\underset{ℝ}{\int }11_{[0,u]}(s)11_{[0,v]}(s)ds=\text{c.min}(u,v)$

在这个情况下，矩阵${(s(t_i,t_j))}_{1\le i,j\le k}$是对称且正定的。

我们称一个高斯过程为 布朗运动当且仅当均值为0，协方差为s。$c=Var(B_1)$，当$c=1$时， 称之为 标准的布朗运动.

利用随机过程

Donsker定理（1951）证明了逐渐归一化的随机游走弱收敛于布朗运动。

${\left(\frac{1}{\sigma \sqrt{n}}(\sum _{k=1}^{[nt]}{U}_k+(nt-[nt])U_{[nt]+1})\right)}_{0\le t\le 1}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{⟹}(B_t{)}_{0\le t\le 1}$

其中（U_n, n ≥ 1） 独立同分布， 均值为0,方差为σ的随机变量序列。

利用傅立叶级数

设2列独立的正态$𝒩(0,1)$随机变量序列$(N_k,k\in \mathbb{N})$和$(N{\text{'}}_k,k\in \mathbb{N})$。定义$(B_t{)}_{t\ge 0}$：

$B_t:=t{N}_0+\sum _{k=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{\sqrt{2}}{2\pi k}(N_k\cos (2\pi kt-1)+{N_k}^{\prime }\sin (2\pi kt))$

为布朗运动。

争议

對於布朗運動之誤解

花粉具備足夠大小，幾乎無法觀測到布朗運動。

参见

• 维纳过程

外部連結

• 漫談布朗運動 Template:Wayback
• Brownian motion - an overview