容度

在數學中，容度是位勢論裡描述一個集合大小的概念。

定義

一如測度之於測度論，容度在某種意義下描述一個集合的大小。容度出現在許多數學領域中，特別是逼近理論或複分析。它的起源則與靜電學中電容的概念有關。

對於 ${ℝ}^n(n\ge 2)$ 上一個有限且帶緊支集的博雷尔测度 μ ，可以抽象地定義相應的位勢函數：

$p_{\mu }(z)=\int \frac{\mathrm{d}\mu (w)}{|z-w{|}^{n-2}}$

這裡的 μ 在物理上可以想像成一個 $n$ 維世界裡的電荷分佈——至少在 $n=3$ 時吻合靜電學。μ 的能量則抽象地定義為位勢的總和：

$I(\mu )=\iint |z-w{|}^{n-2}\mathrm{d}\mu (w)\mathrm{d}\mu (z)$

當 n=2 時，兩個定義中的 $|z-w{|}^{n-2}$ 都改取 $\log |z-w|$

設 $K\subset {ℝ}^n$ 為緊集，其容度定義作

$C(K):=\frac{1}{\underset{\mu }{\inf }I(\mu )}$

其中的下確界取遍支集在 $K$ 上的所有博雷尔機率測度 μ。

二維情形

在一個黎曼曲面 M 上給定一點 $p$。若存在一個以 $p$ 為極點的格林函數，則它在 $p$ 點的一個夠小開鄰域 Ω 上有唯一表法

$g_p(x)=\log |x-p|+h_p(x)$

其中 $h_p$ 是 $\mathrm{\Omega }-\{p\}$ 上的調和函數。

此時 $\underset{x\to p}{\lim }{h}_p(x)$ 決定 $M-\mathrm{\Omega }$ 的容度。這些量能用來分類黎曼曲面。根據 $M$ 的曲率，可以用雙曲距離或球面距離取代上述定義中的歐氏距離 $d(z,w)=|z-w|$，由此可得到雙曲容量與球面容度（或稱橢圓容度）。

文獻

• Template:Springer
• Template:Springer
• J. L. Doob. Classical Potential Theory and Its Probabilistic Counterpart, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, ISBN 3-540-41206-9.