定態

在量子力學裏，定態（stationary state）是一種量子態，定態的機率密度與時間無關。以方程式表式，定態的機率密度對於時間的導數為

\frac{d}{d t} | Ψ (x, t) |^{2} = 0

；

其中， $Ψ (x, t)$ 是定態的波函數， $x$ 是位置， $t$ 是時間。

設定一個量子系統的含時薛丁格方程式為

- \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} Ψ + V Ψ = i ℏ \frac{\partial}{\partial t} Ψ

；

其中， $ℏ$ 是約化普朗克常數， $m$ 是質量， $V (x)$ 是位勢。

這個方程式有一個定態的波函數解：

Ψ (x, t) = ψ (x) e^{- i E t / ℏ}

；

其中， $ψ (x)$ 是 $Ψ (x, t)$ 的不含時間部分， $E$ 是能量。

將這定態波函數代入含時薛丁格方程式，則可除去時間關係：

- \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} ψ + V ψ = E ψ

。

這是一個不含時薛丁格方程式，可以用來求得本徵能量 $E$ 與伴隨的本徵函數 $ψ_{E} (x)$ 。定態的能量都是明確的，是定態薛丁格方程式的本徵能量 $E$ ，波函數 $ψ (x)$ 是定態薛丁格方程式的本徵函數 $ψ_{E} (x)$ 。

機率密度與時間無關

雖然定態 $Ψ (x, t)$ 很明顯的含時間。含時間部分是個相位因子。定態的機率密度不含有相位因子這項目：

| Ψ (x, t) |^{2} = | ψ (x) |^{2}

。

所以，定態的機率密度與時間無關。一個直接的後果就是期望值也都與時間無關。例如，位置的期望值 $⟨ x ⟩$ 是

\begin{matrix} ⟨ x ⟩ & = \int_{- \infty}^{\infty} Ψ^{*} (x, t) x Ψ (x, t) d x \\ = \int_{- \infty}^{\infty} x | Ψ (x, t) |^{2} d x \\ = \int_{- \infty}^{\infty} x | ψ (x) |^{2} d x \end{matrix}

。

再舉一例，動量的期望值 $⟨ p ⟩$ 是

\begin{matrix} ⟨ p ⟩ & = \int_{- \infty}^{\infty} Ψ^{*} (x, t) \frac{ℏ}{i} \frac{\partial}{\partial x} Ψ (x, t) d x \\ = \frac{ℏ}{i} \int_{- \infty}^{\infty} ψ (x) e^{i E t / ℏ} \frac{\partial}{\partial x} (ψ (x) e^{- i E t / ℏ}) d x \\ = \frac{ℏ}{i} \int_{- \infty}^{\infty} ψ^{*} (x) \frac{\partial}{\partial x} ψ (x) d x \end{matrix}

。

所以， $⟨ x ⟩$ 和 $⟨ p ⟩$ 都與時間無關。一般而言，給予任意一個位置與動量的函數 $f (x, p)$ ，期望值 $⟨ f (x, p) ⟩$ 必然與時間無關。