字元集 (數理邏輯)

Template:暫定名稱 Template:NoteTA 字元集在不同領域中有不同意義。在邏輯學（特別是數理邏輯中）代表的是列舉出形式語言中Template:Link-en的一組集合；在泛代數中則是列舉出代數結構具代表性的運算。另外，在模型論中兩種用法皆有使用。

對邏輯學更哲學性的討論中，字元集的概念較少被提及。

定義

一個（單域）字元集在形式上定義為四元組$\sigma =(S_{\mathrm{func}},S_{\mathrm{rel}},S_{\mathrm{const}},\mathrm{ar})$，當中$S_{\mathrm{func}}$與$S_{\mathrm{rel}}$是不包含其他基本邏輯符號的不相交集合，分別稱作

• 函數符號（例如: $+,\times ,0,1$）
• Template:Visible anchor或謂詞（例如: $\le ,\in$）
• Template:Link-en（例如: $0,1$）

以及一個函數$\mathrm{ar}:S_{\mathrm{func}}\cup S_{\mathrm{rel}}\to \mathbb{N}$用來為各個關係符號和邏輯符號指定一個自然數，稱為該符號的元數。元數為$n$的符號稱為$n$-元的。有些作者會將常數符號定為0-元的函數符號，其它則將常數符號分開定義。

不含函數符號的字元集稱為Template:Visible anchor，而不含關係符號的字元集稱作Template:Visible anchor。 如果$S_{\mathrm{func}}$與$S_{\mathrm{rel}}$皆為有限集合，則稱為Template:Visible anchor。更廣泛的說，字元集$\sigma =(S_{\mathrm{func}},S_{\mathrm{rel}},S_{\mathrm{const}},\mathrm{ar})$的勢定義為$|\sigma |=\left|S_{\mathrm{func}}\right|+\left|S_{\mathrm{rel}}\right|+\left|S_{\mathrm{const}}\right|$。

字元集的Template:Visible anchor是字元集和邏輯系統中的所有符號形成的合式公式的集合

其他記號

由於其形式定義對日常使用來說過於繁瑣，一些字元集的定義經常以一種非正式的方式縮寫，例如：

「阿貝爾群的標準字元集是 $\sigma =(+,-,0)$，當中$-$是一個一元算符。」

有時一個代數字元集會被視為元數的列表，例如：

「阿貝爾群的相似類型（原文：similarity type）是$\sigma =(2,1,0)$。」

這在形式上將函數符號定義為類似於$f_0$（2-元）、$f_1$（1-元）和$f_2$（0-元）的樣子，但也有機會看到以這種方式命名的關係符號。

在數理邏輯中通常不會允許0-元的符號，Template:Citation needed因此常數符號就必須得被分開處理。$S_{\mathrm{const}}$形成一個集合，並與$S_{\mathrm{func}}$沒有交集，且元數函數$\mathrm{ar}$在這集合上沒有定義。然而這只會讓事情變得複雜，尤其在用歸納法證明一個公式的結構時會需要考慮到額外的情況。雖然在此定義下0-元關係符號也是不被允許的，但我們依舊能用一個1-元關係符號，額外加上一個說明此關係的值對所有元素都相同的表達句來模擬。這種模擬方式只會在空結構中失效（但空結構照慣例通常會被排除在外）。如果允許0-元符號，則命題邏輯的公式也都會是一階邏輯的公式。

無限字元集的一個例子是使用$S_{\mathrm{func}}=\{+\}\cup \{f_a:a\in F\}$與$S_{\mathrm{rel}}=\{=\}$來形式化無限純量體$F$上向量空間的表達式和方程，當中$f_a$代表乘以純量$a$的1-元算符。如此便能維持單域的字元集和邏輯，論域只包含向量。

字元集在邏輯學和代數中的應用

在一階邏輯的語境下，字元集中的符號又被稱作Template:Link-en，因為字元集配上邏輯符號便構成了基礎的字母表，可以用於歸納的定義出兩種形式語言：字元集上項的集合與（合式）公式的集合。

在討論結構時，詮釋將函數符號和關係符號聯繫到與它們名字相襯的數學物件：一個$n$-元函數符號$f$在以$A$為論域的結構$𝐀$中的詮釋是一個函數$f^{𝐀}:A^n\to A$，而一個$n$-元關係符號的詮釋是一個關係 $R^{𝐀}\subseteq A^n$。當中$A^n=A\times A\times \cdots \times A$代表論域$A$和自己的$n$次笛卡兒積，如此$f$便成為了一個$n$-元函數，而$R$則是一個$n$-元關係。

多域字元集

多域邏輯和Template:Link-en的字元集必須包含論域的訊息。最直接的做法便是透過Template:Visible anchor。

符號類型

令$S$為一個不包含符號$\times$ 和$\to$的（論域的）集合。

$S$上的符號類型是字母表$S\cup \{\times ,\to \}$上的特定詞彙：關係符號類型$s_1\times \cdots \times s_n$，和函數符號類型$s_1\times \cdots \times s_n\to s^{\prime }$，其中$n$為非負整數且$s_1,s_2,\dots ,s_n,s^{\prime }\in S$ （如果$n=0$，則表達式$s_1\times \cdots \times s_n$表示空詞彙)

字元集

（多域）字元集是一個三元組$(S,P,\mathrm{type})$包含

• 論域的集合$S$
• 符號的集合$P$
• 一個將$P$中的每個符號送到$S$上的符號類型的映射$\mathrm{type}$。

參見

• Template:Link-en

參考文獻

• Template:Cite book Free online edition Template:Wayback.
• Template:Cite book

外部連結

• Stanford Encyclopedia of Philosophy Template:Wayback: "Model theory Template:Wayback"—by Wilfred Hodges.
• PlanetMath: Template:Wayback的頁面"Signature Template:Wayback"介紹了此概念，但沒有提到論域的事情。
• Baillie, Jean Template:Wayback, "An Introduction to the Algebraic Specification of Abstract Data Types. Template:Wayback"