嫪丽切拉函数

嫪丽切拉函数（Lauricella functions）是1893年意大利数学家Template:Le首先研究的三元超几何函数。

$F_A^{(3)}(a,b_1,b_2,b_3,c_1,c_2,c_3;x_1,x_2,x_3)=\sum _{i_1,i_2,i_3=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a{)}_{i_1+i_2+i_3}(b_1{)}_{i_1}(b_2{)}_{i_2}(b_3{)}_{i_3}}{(c_1{)}_{i_1}(c_2{)}_{i_2}(c_3{)}_{i_3}{i}_1!i_2!i_3!}{x}_1^{i_1}{x}_2^{i_2}{x}_3^{i_3}$

其中 |x₁| + |x₂| + |x₃| < 1

$F_B^{(3)}(a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3,c;x_1,x_2,x_3)=\sum _{i_1,i_2,i_3=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a_1{)}_{i_1}(a_2{)}_{i_2}(a_3{)}_{i_3}(b_1{)}_{i_1}(b_2{)}_{i_2}(b_3{)}_{i_3}}{(c{)}_{i_1+i_2+i_3}{i}_1!i_2!i_3!}{x}_1^{i_1}{x}_2^{i_2}{x}_3^{i_3}$

其中 |x₁| < 1, |x₂| < 1, |x₃| < 1

$F_C^{(3)}(a,b,c_1,c_2,c_3;x_1,x_2,x_3)=\sum _{i_1,i_2,i_3=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a{)}_{i_1+i_2+i_3}(b{)}_{i_1+i_2+i_3}}{(c_1{)}_{i_1}(c_2{)}_{i_2}(c_3{)}_{i_3}{i}_1!i_2!i_3!}{x}_1^{i_1}{x}_2^{i_2}{x}_3^{i_3}$

其中|x₁|^½ + |x₂|^½ + |x₃|^½ < 1

$F_D^{(3)}(a,b_1,b_2,b_3,c;x_1,x_2,x_3)=\sum _{i_1,i_2,i_3=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a{)}_{i_1+i_2+i_3}(b_1{)}_{i_1}(b_2{)}_{i_2}(b_3{)}_{i_3}}{(c{)}_{i_1+i_2+i_3}{i}_1!i_2!i_3!}{x}_1^{i_1}{x}_2^{i_2}{x}_3^{i_3}$

其中 |x₁| < 1, |x₂| < 1, |x₃| < 1.

其中阶乘幂 (q)_i 为：

$(q{)}_i=q(q+1)\cdots (q+i-1)=\frac{\mathrm{\Gamma }(q+i)}{\mathrm{\Gamma }(q)},$

通过解析延拓，可将 x₁, x₂, x₃等变数扩展到其他数值.

Lauricella指出，另外还有十个三元超几何函数： F_E, F_F, ..., F_T Template:Harv.

n 元推广

嫪丽切拉n变量函数$F_A^{(n)}$

$F_A^{(n)}(a;b_1,\dots ,b_n;c_1,\dots ,c_n;z_1,\dots ,z_n)=\sum _{k_1=0}^{\mathrm{\infty }}\dots \sum _{k_n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a{)}_{k_1+\dots +k_n}{\left(b_1\right)}_{k_1}\dots {\left(b_n\right)}_{k_n}}{{\left(c_1\right)}_{k_1}\dots {\left(c_n\right)}_{k_n}}\frac{z_1^{k_1}\dots z_n^{k_n}}{k_1!\dots k_n!};/\left|z_1\right|+\dots +\left|z_n\right|<1$

嫪丽切拉n变量函数$F_B^{(n)}$

$F_B^{(n)}(a_1,\dots ,a_n;b_1,\dots ,b_n;c;z_1,\dots ,z_n)=\sum _{k_1=0}^{\mathrm{\infty }}\dots \sum _{k_n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\left(a_1\right)}_{k_1}\dots {\left(a_n\right)}_{k_n}{\left(b_1\right)}_{k_1}\dots {\left(b_n\right)}_{k_n}}{{\left(c\right)}_{k_1+\dots k_n}}\frac{z_1^{k_1}\dots z_n^{k_n}}{k_1!\dots k_n!};/\max (\left|z_1\right|,\dots ,\left|z_n\right|)<1$

嫪丽切拉n变量函数$F_C^{(n)}$

$F_C^{(n)}(a;b;c_1,\dots ,c_n;z_1,\dots ,z_n)=\sum _{k_1=0}^{\mathrm{\infty }}\dots \sum _{k_n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a{)}_{k_1+\dots +k_n}(b{)}_{k_1+\dots +k_n}}{{\left(c_1\right)}_{k_1}\dots {\left(c_n\right)}_{k_n}}\frac{z_1^{k_1}\dots z_n^{k_n}}{k_1!\dots k_n!};/\sqrt{\left|z_1\right|}+\dots +\sqrt{\left|z_n\right|}<1$

嫪丽切拉n变量函数$F_D^{(n)}$

$F_D^{(n)}(a;b_1,\dots ,b_n;c;z_1,\dots ,z_n)=\sum _{k_1=0}^{\mathrm{\infty }}\dots \sum _{k_n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\left(a\right)}_{k_1+\dots k_n}{\left(b_1\right)}_{k_1}\dots {\left(b_n\right)}_{k_n}}{{\left(c\right)}_{k_1+\dots k_n}}\frac{z_1^{k_1}\dots z_n^{k_n}}{k_1!\dots k_n!};/\max (\left|z_1\right|,\dots ,\left|z_n\right|)<1$

当 n = 2,时 the Lauricella 超几何函数化为二元阿佩尔函数 :

$F_A^{(2)}\equiv F_2,F_B^{(2)}\equiv F_3,F_C^{(2)}\equiv F_4,F_D^{(2)}\equiv F_1.$

当 n = 1, a则化为超几何函数:

$F_A^{(1)}(a,b,c;x)\equiv F_B^{(1)}(a,b,c;x)\equiv F_C^{(1)}(a,b,c;x)\equiv F_D^{(1)}(a,b,c;x)\equiv {}_2{F}_1(a,b;c;x).$

F_D积分式

$F_D^{(n)}(a,b_1,\dots ,b_n,c;x_1,\dots ,x_n)=\frac{\mathrm{\Gamma }(c)}{\mathrm{\Gamma }(a)\mathrm{\Gamma }(c-a)}\underset{0}{\overset{1}{\int }}{t}^{a-1}(1-t{)}^{c-a-1}(1-x_{1}t{)}^{-b_1}\cdots (1-x_{n}t{)}^{-b_n}\mathrm{d}t,\mathrm{\Re }c>\mathrm{\Re }a>0.$

第三类不完全椭圆积分可以通过三元的嫪丽切拉函数表示。

$\mathrm{\Pi }(n,\varphi ,k)=\underset{0}{\overset{\varphi }{\int }}\frac{\mathrm{d}\theta }{(1-n{\sin }^2\theta )\sqrt{1-k^2{\sin }^2\theta }}=\sin \varphi F_D^{(3)}(\frac{1}{2},1,\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{3}{2};n{\sin }^2\varphi ,{\sin }^2\varphi ,k^2{\sin }^2\varphi ),|\mathrm{\Re }\varphi |<\frac{\pi }{2}.$

参考文献

• Template:Cite book (see p. 114)
• Template:Cite book
• Template:Cite journal
• Template:Cite journal (corrigendum 1956 in Ganita 7, p. 65)
• Template:Cite book (there is a 2008 paperback with ISBN 978-0-521-09061-2)
• Template:Cite book (there is another edition with ISBN 0-85312-602-X)
• Erdélyi, A. "Hypergeometric Functions of Two Variables." Acta Math. 83, 131-164, 1950.

外部链接

• Template:Mathworld