塞弗特-范坎彭定理

Template:NoteTA 代數拓撲中的塞弗特－范坎彭（Seifert–van Kampen）定理，將一個拓撲空間的基本群，用覆蓋這空間的兩個開且路徑連通的子空間的基本群來表示。

定理敍述

設$X$為拓撲空間，有兩個開且路徑連通的子空間$U_1,U_2$覆蓋$X$，即$X=U_1\cup U_2$，並且$U_1\cap U_2$是非空且路徑連通。取$U_1\cap U_2$中的一點$x_0$為各空間的基本群的基點。那麼從$U_1\cap U_2$到$U_1$及$U_2$的包含映射導出相應基本群的群同態：（以下省略基本群中的基點。）

${\varphi }_1:{\pi }_1(U_1\cap U_2)\to {\pi }_1(U_1)$

${\varphi }_2:{\pi }_1(U_1\cap U_2)\to {\pi }_1(U_2)$

塞弗特－范坎彭定理指出$X$的基本群，是$U_1,U_2$的基本群的共合積：

${\pi }_1(X)={\pi }_1(U_1){*}_{{\pi }_1(U_1\cap U_2)}{\pi }_1(U_2)$

用範疇論來說，${\pi }_1(X)$是在群範疇中圖表

${\pi }_1(U_1)\leftarrow {\pi }_1(U_1\cap U_2)\to {\pi }_1(U_2)$

的推出。

這定理可以推廣至$X$的任意多個開子空間的覆蓋： 設

• $X$為路徑連通拓撲空間，$x_0$為$X$的一點，
• $\{U_{\lambda }{\}}_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}$由路徑連通的開集組成，為$X$的開覆蓋，
• 任何一個$U_{\lambda }$都有點$x_0$，
• 對任何$\lambda ,\mu \in \mathrm{\Lambda }$，都有$\nu \in \mathrm{\Lambda }$，使得$U_{\lambda }\cap U_{\mu }=U_{\nu }$。

當$U_{\lambda }\subset U_{\mu }$，令

${\varphi }_{\lambda \mu }:{\pi }_1(U_{\lambda })\to {\pi }_1(U_{\mu })$

為由包含所導出的群同態。又令

${\psi }_{\lambda }:{\pi }_1(U_{\lambda })\to {\pi }_1(X)$

為由$U_{\lambda }\subset X$所導出的群同態。那麼${\pi }_1(X)$有下述的泛性質：

設$H$為群，對所有$\lambda \in \mathrm{\Lambda }$有群同態${\rho }_{\lambda }:{\pi }_1(U_{\lambda })\to H$，使得若$U_{\lambda }\subset U_{\mu }$，則

${\rho }_{\mu }\circ {\varphi }_{\lambda \mu }={\rho }_{\lambda }$。

那麼存在唯一的群同態$\sigma :{\pi }_1(X)\to H$，使得對所有$\lambda \in \mathrm{\Lambda }$，都有

${\rho }_{\lambda }=\sigma \circ {\psi }_{\lambda }$。

這個泛性質決定唯一的${\pi }_1(X)$。（不別群同構之異。）

參考

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