四維頻率

本条目中，向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 $𝐫$ 表示；而其大小則用 $r$ 來表示。四維矢量用加有標號的斜體顯示。例如，$x^{\mu }$或$x_{\mu }$。為了避免歧意，四維矢量的斜體與標號之間不會有括號。例如，$(x{)}^2$表示$x$平方；而$x^2$是$x^{\mu }$的第二個分量。

在電磁學裏，平面電磁波的四維頻率 $f^{\mu }$ 以公式定義為

$f^{\mu }\stackrel{def}{=}(f,f𝐧)$ ；

其中，$f$ 是電磁波的頻率，$𝐧$ 是朝著電磁波傳播方向的單位矢量。

四維頻率與自己的內積永遠等於零：

$f^{\mu }{f}_{\mu }=(f{)}^2(1-n^2)=0$ 。

類似地，四維角頻率 ${\omega }^{\mu }$ 以公式定義為

${\omega }^{\mu }\stackrel{def}{=}(\omega ,\omega 𝐧)$ ；

其中，$\omega$ 是電磁波的角頻率。

顯然地，

${\omega }^{\mu }=2\pi f^{\mu }$ 。

四維波向量 $k^{\mu }$ 與四維角頻率有密切的關係，定義為

$k^{\mu }=(k,𝐤)$ ；

其中，$𝐤$ 是電磁波的波向量。

在本篇文章裏，閔可夫斯基度規的形式被規定為 $diag(1,-1,-1,-1)$ ，這是参考了約翰·傑克森（Template:Lang）的著作《經典電動力學》中所採用的形式；並且使用了經典的張量代数以及愛因斯坦求和約定。

勞侖茲變換

給予兩個慣性參考系 $𝒮$ 、$\overline{𝒮}$ ；相對於參考系 $𝒮$ ，參考系 $\overline{𝒮}$ 以速度 $𝐯$ 移動。對於這兩個參考系，相關的勞侖茲變換矩陣 ${\mathrm{\Lambda }}_{\nu }^{\mu }$ 是

${\mathrm{\Lambda }}_{\nu }^{\mu }=\left[\begin{array}{cccc}\gamma & -{\beta }_x\gamma & -{\beta }_y\gamma & -{\beta }_z\gamma \\ -{\beta }_x\gamma & 1+(\gamma -1)\frac{{\beta }_x^2}{{\beta }^2}& (\gamma -1)\frac{{\beta }_x{\beta }_y}{{\beta }^2}& (\gamma -1)\frac{{\beta }_x{\beta }_z}{{\beta }^2}\\ -{\beta }_y\gamma & (\gamma -1)\frac{{\beta }_y{\beta }_x}{{\beta }^2}& 1+(\gamma -1)\frac{{\beta }_y^2}{{\beta }^2}& (\gamma -1)\frac{{\beta }_y{\beta }_z}{{\beta }^2}\\ -{\beta }_z\gamma & (\gamma -1)\frac{{\beta }_z{\beta }_x}{{\beta }^2}& (\gamma -1)\frac{{\beta }_z{\beta }_y}{{\beta }^2}& 1+(\gamma -1)\frac{{\beta }_z^2}{{\beta }^2}\end{array}\right]$ ；

其中，$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-{\left(\frac{v}{c}\right)}^2}}$ 是勞侖茲因子，$\beta =\frac{v}{c}$ 是貝他因子，${\beta }_x$ 、${\beta }_y$ 、${\beta }_z$ 分別是參考系 $\overline{𝒮}$ 對於參考系 $𝒮$ 的 x-軸、y-軸、z-軸方向的相對速度 $v_x$ 、$v_y$ 、$v_z$ 的貝他因子。

設定一個朝著 $\widehat{𝐤}$ 方向傳播於真空的平面電磁波，對於參考系 $𝒮$ ，這平面電磁波以公式表達為

$𝐄=E_0{e}^{-i(k^{\mu }{x}_{\mu })}{\hat{\mathit{\eta }}}_1$ 、

$𝐁=B_0{e}^{-i(k^{\mu }{x}_{\mu })}{\hat{\mathit{\eta }}}_2$ ；

其中，$𝐄$ 、$𝐁$ 分別是電磁波的電場、磁場，$E_0$ 、$B_0$ 分別是其波幅，$k^{\mu }$ 是四維波向量，$x_{\mu }=(ct,-𝐱)$ 是四維位置，$𝐱$ 是位置，${\hat{\mathit{\eta }}}_1$ 、${\hat{\mathit{\eta }}}_2$ 分別垂直於 $\widehat{𝐤}$ ，而且 ${\hat{\mathit{\eta }}}_2=\widehat{𝐤}\times {\hat{\mathit{\eta }}}_1$ 。

那麼，對於參考系 $\overline{𝒮}$ ，這平面電磁波以公式表達為

$\overline{𝐄}={\bar{E}}_0{e}^{-i(\stackrel{\mu }{\bar{k}}{\bar{x}}_{\mu })}{\hat{\mathit{\eta }}}_1$ 、

$\overline{𝐁}={\bar{B}}_0{e}^{-i(\stackrel{\mu }{\bar{k}}{\bar{x}}_{\mu })}{\hat{\mathit{\eta }}}_2$ 。

四維波向量 $\stackrel{\mu }{\bar{k}}$ 與 $k^{\mu }$ 之間的關係為

$\stackrel{\mu }{\bar{k}}={\mathrm{\Lambda }}_{\nu }^{\mu }{k}^{\nu }$ 。

經過一番運算，可以求得

$\bar{k}=\stackrel{0}{\stackrel{‾}{k}}=\gamma (k-{\beta }_x{k}_x-{\beta }_y{k}_y-{\beta }_z{k}_z)=k^{\mu }{v}_{\mu }/c$ ；

其中，$v_{\mu }=(\gamma c,-\gamma 𝐯)$ 是參考系 $\overline{𝒮}$ 相對於參考系 $𝒮$ 的四維速度，$𝐯$ 是參考系 $\overline{𝒮}$ 相對於參考系 $𝒮$ 的速度。

在真空裏，四維頻率與四維波向量之間的關係為

$f^{\mu }=c{k}^{\mu }/2\pi$ 。

所以，

$\bar{f}=\stackrel{0}{\stackrel{‾}{f}}=f^{\mu }{v}_{\mu }/c$ 。

這也是參考系 $\overline{𝒮}$ 的觀察者所觀察到的頻率。

參閱

• 四維向量
• 電磁張量

參考文獻

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