可忽略函数

Template:NoteTA 在数学中，可忽略函数（Template:Lang-en）是指

对于一个函数 $\mu (x):\mathbb{N}\to ℝ$ ，如果对于任意一个正多项式$poly()$，存在一个$N_c>0$，使得对于所有的$x>N_c$

$\mu (x)<\frac{1}{poly(x)}$

那么这个函数便是可忽略的（negligible）。通常我们把“存在一个$N_c>0$，使得对于所有的$x>N_c$”简化为“对于所有足够大的$x$”。

历史

可忽略函数这个概念是和数学分析的形式化模型相关的。Template:Notetag第一个比较严格的定义是波尔查诺在1817年给出的。后来的柯西, 魏尔施特拉斯和海涅都用了基本相同的以下定义Template:Notetag：

（连续函数） 一个实数函数$f(x)$在$x=x_0$处连续，当对于任意一个正实数$ϵ>0$，有一个正实数$\delta >0$，使$|x-x_0|<\delta$时，有$|f(x)-f(x_0)|<ϵ$。

只要每步改变一项参数，此定义就可经数步转换成为可忽略函数的定义。首先，当$x_0=\mathrm{\infty },f(x_0)=0$时，我们需要定义"足够大"（sufficiently large），并定义無窮小量：

（足够大） 实数$x$足够大时一个数学命题为真，当且仅当存在一个实数$N_c>0$，对所有的实数$x>N_c$此数学命题为真。

（无穷小） 一个连续函数$\mu (x)$无穷小，当对任意足够大的正实数$x$，对任意正实数Template:Notetag $pnum=\frac{1}{ϵ}>0$，有

$|\mu (x)|<ϵ=\frac{1}{pnum}$。

然后我们把正实数$ϵ$换成正实数多项式函数$ϵ(x)$。Template:Notetag

（可忽略函数） 一个连续函数$\mu (x)$可忽略，当对任意足够大的正实数$x$，对任意正多项式$poly(x)=\frac{1}{ϵ(x)}>0$，有

$|\mu (x)|<ϵ(x)=\frac{1}{poly(x)}$。

在基于計算複雜性理論的现代密码学中，一个安全技术是数学上可证明安全（provably secure）的意思通常是，此安全技术的失败Template:Notetag的概率是关于密钥长度$x=n$的一个可忽略函数（参见公钥密码学）。因为密钥长度$n$肯定是自然数，这就是为什么开篇的定义把定义域改为自然数域的原因。Template:Notetag

参考

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