双线性插值

单位矩形的四个角的z值分别是0、1、1、0.5，如果将坐标解释为颜色，整个单位矩形上的双线性插值结果如图。

雙線性插值，又稱為雙線性內插。在数学上，双线性插值是对线性插值在二维直角网格上的扩展，用于对双变量函数（例如 x 和 y）进行插值。其核心思想是在两个方向分别进行一次线性插值。

算法

红色的数据点与待插值得到的绿色点

假如我们想得到未知函数 f 在点 $P=(x,y)$ 的值，假设我们已知函数 f 在 $Q_{11}=(x_1,y_1)$, $Q_{12}=(x_1,y_2)$, $Q_{21}=(x_2,y_1)$, 及 $Q_{22}=(x_2,y_2)$ 四个点的值。

首先在 x 方向进行线性插值，得到

$\begin{array}{cc}f(x,y_1)& \approx \frac{x_2-x}{x_2-x_1}f(Q_{11})+\frac{x-x_1}{x_2-x_1}f(Q_{21}),\\ f(x,y_2)& \approx \frac{x_2-x}{x_2-x_1}f(Q_{12})+\frac{x-x_1}{x_2-x_1}f(Q_{22}).\end{array}$

然后在 y 方向进行线性插值，得到

$\begin{array}{cc}f(x,y)& \approx \frac{y_2-y}{y_2-y_1}f(x,y_1)+\frac{y-y_1}{y_2-y_1}f(x,y_2)\\ & =\frac{y_2-y}{y_2-y_1}(\frac{x_2-x}{x_2-x_1}f(Q_{11})+\frac{x-x_1}{x_2-x_1}f(Q_{21}))+\frac{y-y_1}{y_2-y_1}(\frac{x_2-x}{x_2-x_1}f(Q_{12})+\frac{x-x_1}{x_2-x_1}f(Q_{22}))\\ & =\frac{1}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)}(f(Q_{11})(x_2-x)(y_2-y)+f(Q_{21})(x-x_1)(y_2-y)+f(Q_{12})(x_2-x)(y-y_1)+f(Q_{22})(x-x_1)(y-y_1))\\ & =\frac{1}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)}\left[\begin{array}{cc}{x}_2-x& x-x_1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}f(Q_{11})& f(Q_{12})\\ f(Q_{21})& f(Q_{22})\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{y}_2-y\\ y-y_1\end{array}\right].\end{array}$

注意此处如果先在 y 方向插值、再在 x 方向插值，其结果与按照上述顺序双线性插值的结果是一样的。

单位正方形

如果选择一个坐标系统使得 f 的四个已知点坐标分别为 (0, 0)、(0, 1)、(1, 0) 和 (1, 1)，那么插值公式就可以化简为

$f(x,y)\approx f(0,0)(1-x)(1-y)+f(1,0)x(1-y)+f(0,1)(1-x)y+f(1,1)xy.$

或者用矩阵运算表示为

$f(x,y)\approx \left[\begin{array}{cc}1-x& x\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}f(0,0)& f(0,1)\\ f(1,0)& f(1,1)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1-y\\ y\end{array}\right]$

非线性

顾名思义，双线性插值的结果不是线性的，它是两个线性函数的积。在单位正方形上，双线性插值可以记作

$f(x,y)=\sum _{i=0}^1\sum _{j=0}^1{a}_{ij}{x}^i{y}^j=a_{00}+a_{10}x+a_{01}y+a_{11}xy$

常数的数目（四）对应于给定的 f 的数据点数目

$a_{00}=f(0,0),$

$a_{10}=f(1,0)-f(0,0),$

$a_{01}=f(0,1)-f(0,0),$

$a_{11}=f(1,1)+f(0,0)-(f(1,0)+f(0,1)).$

双线性插值的结果与插值的顺序无关。首先进行 y 方向的插值，然后进行 x 方向的插值，所得到的结果是一样的。

双线性插值的一个显然的三维空间延伸是三线性插值。

在图像处理领域的应用

对灰度值进行双线性插值

在计算机视觉及图像处理领域，双线性插值是一种基本的重采样技术。

材质贴图中，双线性插值也叫双线性过滤或者双线性材质贴图。图像的双线性插值放大算法中，目标图像中新创造的象素值，是由源图像位置在它附近的2*2区域4个邻近象素的值通过加权平均计算得出的。双线性内插值算法放大后的图像质量较高，不会出现像素值不连续的的情况。然而此算法具有低通滤波器的性质，使高频分量受损，所以可能会使图像轮廓在一定程度上变得模糊。

参见

• 双三次插值
• 样条插值
• Lanczos resampling