区间套

一串區間套中的4個成員之示例

在數學中，一串區間套是實數中的一串區間Template:Math（n=1, 2, 3, ...），使得對於每個n都有Template:Math是Template:Math的子集，有時我們要求它是真子集。換而言之，在這串區間中，區間從左邊逐漸往右收縮，而在右邊逐漸往左收縮。

關於區間套的主要問題在於探討所有區間Template:Math的交集（記作J）的性狀。

事實上，當Template:Math都是開集時，J有可能為空集。例如開區間套Template:Math的交集就是空集：任何一個正數x都在n充分大之後大於2⁻ⁿ，故而x不在J中。

但對於閉集而言，情況有所不同。事實上，我們有閉區間套定理，這一定理刻劃了實數的完備性。定理聲稱對於任一的有界閉區間套Template:Math（例如Template:Math並滿足Template:Math），它們的交集Template:Math非空，且為閉區間$[\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n]$；特別地，假若$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n-b_n=0$，則它們的交集J為一個包含且僅包含$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n$的單點集。

參考文獻

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