傅立叶变换家族中的关系

Template:NoteTA Template:傅里叶变换 在数学领域的谐波分析中，连续傅里叶变换（continuous Fourier transform, CFT）与傅里叶级数 （Fourier series, FS）有非常微妙的关系。而且连续傅里叶变换也与离散时间傅里叶变换（discrete time Fourier transform, DTFT）和离散傅里叶变换（discrete Fourier transform, DFT）有很近的关系。傅里叶变换家族通常就是指这四种变换。

通过利用Dirac delta函数 $\delta (t)$ ，CFT可以应用到时间离散 （time-discrete）或时间周期（time-periodic）信号。实际上，FS、 DTFT和DFT都可以由最广泛的CFT得到。从理论上看，它们也都是CFT的特殊情况。

在信号理论和数字信号处理（digital signal processing, DSP）中，DFT扩展用于近似计算连续信号的频谱，其变换的对象只是一个采样点的有限序列，而且可以由快速傅里叶变换（fast Fourier transform, FFT）实现。

家族中各个变换的定义

下表中左上、左下、右上和右下分别对应了傅里叶变换家族中CFT、FS、DTFT和DFT四个变换对的定义。

傅里叶变换家族中各种变换的定义

×	连续时间	离散时间
时间非周期	$x(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}X(f)e^{i2\pi ft}df$	$x[n]=T_s\underset{1/T_s}{\int }\overline{X}(f)e^{i2\pi fn{T}_s}df$
-	$X(f)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x(t)e^{-i2\pi ft}dt$	$\overline{X}(f)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x[n]e^{-i2\pi fn{T}_s}$
时间周期	$\overline{x}(t)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}X[k]e^{i\frac{2\pi k}{T_0}t}$	$x_n=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}{X}_k{e}^{i\frac{2\pi }{N}kn},n=0,\dots ,N-1.$
-	$X[k]=\frac{1}{T_0}\underset{T_0}{\int }\overline{x}(t)e^{-i\frac{2\pi k}{T_0}t}dt$	$X_k=\sum _{n=0}^{N-1}{x}_n{e}^{-i\frac{2\pi }{N}kn},k=0,\dots ,N-1.$

显然，上表是从时域信号的角度来划分的：表的列区分了连续时间和离散时间的信号，而表的行则区分了时间上非周期的信号和时间上周期的信号。其中重要的参量符号解释为：

• $x[n]$ 和 $X[k]$ 都为无限序列，其采样间隔，即间隔时间和间隔频率分别为 $T_s$ 和 $f_0=1/T_0$ ；
• $\overline{x}(t)$ 和 $\overline{X}(f)$ 都为周期函数，且时间周期和频率周期分别为 $T_0$ 和 $f_s=1/T_s$ ；
• $x_n$ 和 $X_k$ 都为有限序列，且序列长度都为 $N$ ；

关系推导所需的公式

前面表中的定义都可以通过Dirac delta函数 $\delta (t)$ 的扩展形式 ，即Dirac comb函数，由CFT引入或推导。为计算离散和/或周期信号的CFT，我们需要引入一些公式，并使用傅里叶变换的一些特性。以下集中给出：

1. Dirac comb函数的傅里叶变换

Dirac comb函数的定义为

${\mathrm{\Delta }}_T(t)\stackrel{\text{def}}{=}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (t-nT)$

在电气工程中通常又称作冲击串（impulse train）或采样函数 （sampling function）。其重要的傅里叶变换为：

$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (t-nT)=\frac{1}{T}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{i\frac{2\pi k}{T}t}\stackrel{ℱ}{⟷}\frac{1}{T}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (f-\frac{k}{T})=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-i2\pi nTf}$

这个变换在傅里叶变换家族中各个变换之间转换上起关键作用。

2. 傅里叶变换的卷积定理（convolution theorem）

这包括了傅里叶变换的时域卷积和频域卷积：

$\begin{array}{cc}{x}_1(t)\ast x_2(t)& \stackrel{ℱ}{⟷}{X}_1(f)\cdot X_2(f)\\ x_1(t)\cdot x_2(t)& \stackrel{ℱ}{⟷}{X}_1(f)\ast X_2(f)\end{array}$

3. 泊松求和公式（Poisson summation formula）

由Dirac comb函数的傅里叶变换和卷积定理，容易证明泊松求和公式：

$\begin{array}{cc}1.& \sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(t-n{T}_0)=\frac{1}{T_0}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}X\left(\frac{k}{T_0}\right)e^{i\frac{2\pi k}{T_0}t}\\ 2.& \sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(nT)e^{-i2\pi nTf}=\frac{1}{T}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}X(f-\frac{k}{T})\end{array}$

若第1和第2公式中分别取 $t=0$ 和 $f=0$ ，得到相同等式：

$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(nT)=\frac{1}{T}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}X\left(\frac{k}{T}\right)$

这表明，傅里叶变换时时域函数 $x(t)$ 和频域函数 $X(f)$ 分别以 $T$ 和 $1/T$ 为间隔采样，则所有时域采样点的总和与所有频域采样点扩大 $1/T$ 的总和相等。

各种变换之间的关系

图 1. 此“立方体”图形表示了连续傅里叶变换、离散时间傅里叶变换、傅里叶级数和离散傅里叶变换之间的关系。

图中立方体包含了频域和时域两个平面上各种变换的关系，同时两平面相连的四个边则分别代表了CFT、FS、DTFT和DFT。其中参量符号与前面表中相同，另外增加：

• ${\tilde{X}}_k$ 为由FS和DTFT推导DFT得到的DFT'频域形式，与传统DFT的频域 $X_k$ 有关系： $X_k=T_0{\tilde{X}}_k$ ；
• 图中粗的双箭头（$\leftrightarrow$）表示每个函数和其变换之间的联系；

总的说来，各种变换之间的转换是一个周期扩展或采样的过程：

• 如果时域进行周期扩展，则频域为采样；如果时域进行采样，则频域为周期扩展；
• 一个转换中，周期扩展的周期与采样的间隔有倒数关系；
• 频域的周期扩展或者采样，都有一个周期或采样间隔作系数；

这里的周期扩展就是与Dirac comb函数相卷积，而采样则是与Dirac comb函数相乘。

从CFT分别到FS和DTFT的转换都容易推导，下面具体说明FS和DTFT到DFT/DFT'转换的推导，最后说明连续FT与DFT/DFT'的关系。

由DTFT推导DFT

设DTFT，及对应的CFT为：

$\begin{array}{cc}x[n]& \stackrel{𝒟𝒯ℱ𝒯}{⟷}\overline{X}(f)\\ \sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x[n]\cdot \delta (t-nT)& \stackrel{ℱ}{⟷}\overline{X}(f)\end{array}$

在时域作周期为 $T_0$ 的扩展，有:

$\begin{array}{cc}& (\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x[n]\cdot \delta (t-nT))\ast (\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (t-n{T}_0))\\ & =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(nT)\cdot \delta (t-nT-iNT)\\ & =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(\sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(nT-iNT))\delta (t-nT)\end{array}$

其中代入了 $T_0=NT$ ，而由于 $n$ 和 $i$ 的求和区间都为 $-\mathrm{\infty }$ 到 $\mathrm{\infty }$ ，可以用 $n-iN$ 代替 $n$ 得到最后一步推导。取：

$\begin{array}{cc}{x}_n& =\sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(nT-iNT)=\sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x[n-iN]\\ & =\sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(nT-i{T}_0)\end{array}$

在频域作带系数 $1/T_0$ 且间隔也为 $1/T_0$ 的采样，有：

$\begin{array}{cc}& \overline{X}(f)\cdot \frac{1}{T_0}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (f-\frac{k}{T_0})\\ & =\frac{1}{T_{0}T}\left(\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}X(f-\frac{k}{T})\right)\cdot \left(\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (f-\frac{k}{T_0})\right)\\ & =\frac{1}{T_{0}T}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(\sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}X(f-\frac{i}{T})\cdot \delta (f-\frac{k}{T_0}))\\ & =\frac{1}{T_{0}T}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\left(\sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}X(\frac{k}{T_0}-\frac{i}{T})\right)\cdot \delta (f-\frac{k}{T_0})\end{array}$

取：

${\tilde{X}}_k=\frac{1}{T_{0}T}\sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}X(\frac{k}{T_0}-\frac{i}{T})=\frac{1}{T_0}\overline{X}\left(\frac{k}{T_0}\right)$

由FS推导DFT

设FS，及对应的CFT为：

$\begin{array}{cc}\overline{x}(t)& \stackrel{ℱ𝒮}{⟷}X[k]\\ \overline{x}(t)& \stackrel{ℱ}{⟷}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}X[k]\cdot \delta (f-\frac{k}{T_0}).\end{array}$

在时域作间隔为 $T$ 采样，有：

$\begin{array}{cc}& \overline{x}(t)\cdot \sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (t-nT)\\ & =(\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(t-n{T}_0))\cdot (\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (t-nT))\\ & =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(\sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(t-i{T}_0)\cdot \delta (t-nT))\\ & =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(\sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(nT-i{T}_0))\cdot \delta (t-nT)\end{array}$

取：

$x_n=\sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(nT-i{T}_0)=\overline{x}(nT)$

在频域作带系数 $1/T$ 且周期也为 $1/T$ 扩展，有：

$\begin{array}{cc}& (\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}X[k]\cdot \delta (f-\frac{k}{T_0}))\ast \left(\frac{1}{T}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (f-\frac{k}{T})\right)\\ & =\frac{1}{T_{0}T}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}X\left(\frac{k}{T_0}\right)\cdot \delta (f-\frac{k}{T_0}-\frac{iN}{T_0})\\ & =\frac{1}{T_{0}T}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\left(\sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}X\left(\frac{k-iN}{T_0}\right)\right)\cdot \delta (f-\frac{k}{T_0})\end{array}$

其中也代入了 $T_0=NT$ ，而由于 $k$ 和 $i$ 的求和区间都为 $-\mathrm{\infty }$ 到 $\mathrm{\infty }$ ，可用 $k-iN$ 替代 $k$ 得到最后一步推导。 取：

$\begin{array}{cc}{\tilde{X}}_k& =\frac{1}{T_{0}T}\sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}X\left(\frac{k-iN}{T_0}\right)=\frac{1}{T}\sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}X[k-iN]\\ & =\frac{1}{T_{0}T}\sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}X(\frac{k}{T_0}-\frac{i}{T})\end{array}$

CFT与DFT的关系

前面FS到DFT和DTFT到DFT的推导都得到相同的 $x_n$ 和 ${\tilde{X}}_k$ 。这里的 $x_n$ 和 ${\tilde{X}}_k$ 可看作一种DFT变换对，有关系：

$\begin{array}{cc}{\tilde{X}}_k& =\frac{1}{T_0}\sum _{n=0}^{N-1}{x}_n{e}^{-\frac{2\pi i}{N}kn}\\ x_n& =T\sum _{k=0}^{N-1}{\tilde{X}}_k{e}^{\frac{2\pi i}{N}kn}\end{array}$

记为：

$x_n\stackrel{𝒟ℱ{𝒯}^{\prime }}{⟷}{\tilde{X}}_k$

对比传统DFT变换对的 $x_n$ 和 $X_k$ ，显然有：

$X_k=T_0{\tilde{X}}_k.$

这一对变换的等式右边系数的乘积为 $T/T_0=1/N$ ，符合我们在DFT中的说明，因而完全可以将这里的DFT'看作传统DFT的另一种变换形式 。

而由前面转换的推导过程可得到：

$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}_n\cdot \delta (t-nT)\stackrel{ℱ}{⟷}\begin{array}{c}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\tilde{X}}_k\cdot \delta (f-\frac{k}{T_0})\\ =\frac{1}{T_0}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{X}_k\cdot \delta (f-\frac{k}{T_0})\end{array}$

为一对CFT，其中要求 $T_0=NT$ 。加之如果 $x(t)\stackrel{ℱ}{⟷}X(f)$，则有：

$x_n=\sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(nT-i{T}_0)\begin{array}{c}\stackrel{𝒟ℱ{𝒯}^{\prime }}{⟷}{\tilde{X}}_k=\frac{1}{T_{0}T}\sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}X(\frac{k}{T_0}-\frac{i}{T})\\ \stackrel{𝒟ℱ𝒯}{⟷}{X}_k=\frac{1}{T}\sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}X(\frac{k}{T_0}-\frac{i}{T})\end{array}$

其中可以任选 $T_0$ 和 $T$ 。这样就建立了CFT和DFT之间的双向关系。但应注意到，此时我们已经将DFT'和DFT都做了周期拓展，即 $n,k\in \mathbb{Z}$ 。

参看

• 傅里叶变换
• 傅里叶级数
• 离散时间傅里叶变换
• 离散傅里叶变换

参考文献

1. Oppenheim, Alan V.; Schafer, R. W.; and Buck, J. R., (1999). Discrete-time signal processing, Upper Saddle River, N.J. : Prentice Hall. ISBN 0137549202
2. Sklar, B., (2001). Digital Communications: Foundamentals and Applicatons, 2nd Edition, Prentice Hall PTR. ISBN 0130847887