佩多不等式

Template:Unreferenced 幾何學的佩多不等式，是關連兩個三角形的不等式，以唐·佩多(Don Pedoe)命名。這不等式指出：如果第一個三角形的邊長為$a,b,c$，面積為$f$，第二個三角形的邊長為$A,B,C$，面積為$F$，那麼：

$A^2(b^2+c^2-a^2)+B^2(a^2+c^2-b^2)+C^2(a^2+b^2-c^2)\ge 16Ff$，

等式成立當且僅當兩個三角形為一對相似三角形，對應邊成比例；
也就是$\frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{c}{C}$。

证明

• 由海伦公式，两个三角形的面积可用边长表示为

$16f^2=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)=(a^2+b^2+c^2{)}^2-2(a^4+b^4+c^4)$

$16F^2=(A+B+C)(A+B-C)(A-B+C)(B+C-A)=(A^2+B^2+C^2{)}^2-2(A^4+B^4+C^4)$

再由柯西不等式，

$16Ff+2a^2{A}^2+2b^2{B}^2+2c^2{C}^2$

$\le \sqrt{(16f^2+2a^4+2b^4+2c^4)}\sqrt{(16F^2+2A^4+2B^4+2C^4)}$

$=(a^2+b^2+c^2)(A^2+B^2+C^2)$

于是，

$16Ff\le A^2(a^2+b^2+c^2)-2a^2{A}^2+B^2(a^2+b^2+c^2)-2b^2{B}^2+C^2(a^2+b^2+c^2)-2c^2{C}^2$

$=A^2(b^2+c^2-a^2)+B^2(a^2+c^2-b^2)+C^2(a^2+b^2-c^2)$

命题得证。

等号成立当且仅当$\frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{c}{C}=\sqrt{\frac{f}{F}}$，也就是说两个三角形相似。

ABC是第一个三角形，A'B'C'是取相似后的第二个三角形，BC与B'C'重合

• 几何证法

三角形的面积与边长的平方成正比，因此在要证的式子两边同乘一个系数${\lambda }^2$，使得$\lambda A=a$，几何意义是将第二个三角形取相似（如右图）。 设这时A、B、C变成x、y、z，F变成F'。 考虑 AA' 的长度。由余弦公式，

$AA{\text{'}}^2=A{B}^2+BA{\text{'}}^2-2AB\cdot B{A}^{\prime }\cos (\mathrm{\angle }B-\mathrm{\angle }{B}^{\prime })$

$=c^2+z^2-2cz(\cos \mathrm{\angle }B\cos \mathrm{\angle }{B}^{\prime }+\sin \mathrm{\angle }B\sin \mathrm{\angle }{B}^{\prime })$

将$\cos \mathrm{\angle }B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac},\cos \mathrm{\angle }{B}^{\prime }=\frac{x^2+z^2-y^2}{2xz}$,$\sin \mathrm{\angle }B=\frac{2f}{ac},\sin \mathrm{\angle }{B}^{\prime }=\frac{2F^{\prime }}{xz}$

代入就变成：

$0\le AA{\text{'}}^2=c^2+z^2-2cz[\frac{(a^2+c^2-b^2)(x^2+z^2-y^2)}{4acxz}+\frac{4F^{\prime }f}{acxz}]$

两边化简后同时乘以$\frac{1}{{\lambda }^2}$，并注意到a=x，就可得到原不等式。 等号成立当且仅当A与A'重合，即两个三角形相似。

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