上界和下界

設 $(A, \leq)$ 為一個偏序集，若存在 $y \in A$ ，能滿足 $\forall x \in B \subseteq A$ 都有 $x \leq y$ ，則 $y$ 稱作集合 $B$ 的上界，若存在 $z \in A$ ，能滿足 $\forall x \in B \subseteq A$ 都有 $x \geq z$ ，則 $z$ 稱作 $B$ 的下界。

例如在實變數中，若存在一個實數 $b$ ，能滿足 $\forall x \in S \subseteq R$ 都有 $x \leq b$ ，則 $b$ 即為集合 $S$ 的上界，若存在一個實數 $c$ ，能滿足 $\forall x \in S \subseteq R$ 都有 $x \geq c$ ，則 $c$ 即為集合 $S$ 的下界。