三角换元法

Template:NoteTA Template:微积分学Template:UnreferencedTemplate:三角学 三角换元法是一种计算积分的方法，是换元积分法的一个特例。

含有a²-x²的积分

在积分

$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}$

中，我们可以用以下的代换

$x=a\sin \theta ,dx=a\cos \theta d\theta$

$\theta =\arcsin \frac{x}{a}$

这样，积分变为：

$\begin{array}{cc}\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}& =\int \frac{a\cos \theta d\theta }{\sqrt{a^2-a^2{\sin }^2\theta }}\\ & =\int \frac{a\cos \theta d\theta }{\sqrt{a^2(1-{\sin }^2\theta )}}\\ & =\int \frac{a\cos \theta d\theta }{\sqrt{a^2{\cos }^2\theta }}\\ & =\int d\theta =\theta +C\\ & =\arcsin \frac{x}{a}+C\\ \end{array}$

注意以上的步骤需要$a>0$和$\cos \theta >0$；我们可以选择$a$为$a^2$的算术平方根，然后用反正弦函数把$\theta$限制为$-\frac{\pi }{2}<\theta <\frac{\pi }{2}$。

对于定积分的计算，我们必须知道积分限是怎样变化。例如，当$x$从0增加到$\frac{a}{2}$时，$\sin \theta$从0增加到$\frac{1}{2}$，所以$\theta$从0增加到$\frac{\pi }{6}$。因此，我们有：

$\underset{0}{\overset{\frac{a}{2}}{\int }}\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{6}}{\int }}d\theta =\frac{\pi }{6}.$

含有a²+x²的积分

在积分

$\int \frac{dx}{a^2+x^2}$

中，我们可以用以下的代换：

$x=a\tan \theta ,dx=a{\sec }^2\theta d\theta$

$\theta =\arctan \frac{x}{a}$

这样，积分变为：

$\begin{array}{cc}\int \frac{dx}{a^2+x^2}& =\int \frac{a{\sec }^2\theta d\theta }{a^2+a^2{\tan }^2\theta }\\ & =\int \frac{a{\sec }^2\theta d\theta }{a^2[1+{\tan }^2\theta ]}\\ & =\int \frac{a{\sec }^2\theta d\theta }{a^2{\sec }^2\theta }\\ & =\int \frac{d\theta }{a}\\ & =\frac{\theta }{a}+C\\ & =\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C\end{array}$

（a > 0）。

含有x² − a²的积分

以下的积分

$\int \frac{dx}{x^2-a^2}$

可以用部分分式的方法来计算，但是，

$\int \sqrt{x^2-a^2}dx$

则必须要用换元法：

$x=a\sec \theta ,dx=a\sec \theta \tan \theta d\theta$

$\theta =\mathrm{arcsec}\frac{x}{a}$

$\begin{array}{cc}\int \sqrt{x^2-a^2}dx& =\int \sqrt{a^2{\sec }^2\theta -a^2}\cdot a\sec \theta \tan \theta d\theta \\ & =\int \sqrt{a^2({\sec }^2\theta -1)}\cdot a\sec \theta \tan \theta d\theta \\ & =\int \sqrt{a^2{\tan }^2\theta }\cdot a\sec \theta \tan \theta d\theta \\ & =\int a^2\sec \theta {\tan }^2\theta d\theta \\ & =a^2\int \sec \theta ({\sec }^2\theta -1)d\theta \\ & =a^2\int ({\sec }^3\theta -\sec \theta )d\theta .\end{array}$

含有三角函数的积分

对于含有三角函数的积分，可以用以下的代换：

$\int f(\sin x,\cos x)dx=\int \frac{1}{\pm \sqrt{1-u^2}}f(u,\pm \sqrt{1-u^2})du,u=\sin x$

$\int f(\sin x,\cos x)dx=\int \frac{-1}{\pm \sqrt{1-u^2}}f(\pm \sqrt{1-u^2},u)duu=\cos x$

$\int f(\sin x,\cos x)dx=\int \frac{2}{1+u^2}f(\frac{2u}{1+u^2},\frac{1-u^2}{1+u^2})duu=\tan \frac{x}{2}$

$\begin{array}{cc}\int \frac{\cos x}{(1+\cos x{)}^3}dx& =\int \frac{2}{1+u^2}\frac{\frac{1-u^2}{1+u^2}}{{(1+\frac{1-u^2}{1+u^2})}^3}du\\ & =\frac{1}{4}\int (1-u^4)du\\ & =\frac{1}{4}(u-\frac{1}{5}{u}^5)+C\\ & =\frac{(1+3\cos x+{\cos }^{2}x)\sin x}{5(1+\cos x{)}^3}+C\end{array}$

参见

• 正切半角公式