Y-Δ变换

Y-Δ变换或稱為星角變換，是一种把Y形电路转换成等效的Δ形电路，或把Δ形电路转换成等效的Y形电路的方法。它可以用来简化电路的分析。这一变换理论是由Template:Le於1899年发表。^[1]

基本的Y-Δ变换

设R₁、R₂、和R₃分别是Y形电路中从N₁、N₂、N₃到中点的阻抗，R_a、R_b、R_c分别是Δ形电路中N₁与N₃、N₁与N₂、N₂与N₃之间的阻抗。希望把Y形电路换成Δ形电路，或把Δ形电路换成Y形电路后，任意两个端点之间的阻抗仍然与原来的电路相等。

把Δ形电路变换成Y形电路

变换的基本思路是用 $R^{'}$ 和 $R^{″}$ 计算Y形电路端点的阻抗 $R_{y}$ ，其中 $R^{'}$ 和 $R^{″}$ 是Δ形电路中对应节点到邻接节点间的阻抗：

R_{y} = \frac{R^{'} R^{″}}{\sum R_{Δ}}

其中 $R_{Δ}$ 是Δ形电路的阻抗之和。具体公式如下：

R_{1} = \frac{R_{a} R_{b}}{R_{a} + R_{b} + R_{c}}

R_{2} = \frac{R_{b} R_{c}}{R_{a} + R_{b} + R_{c}}

R_{3} = \frac{R_{a} R_{c}}{R_{a} + R_{b} + R_{c}}

口訣为 Y形阻抗 = Δ形同側相邻阻抗乘积 / Δ形阻抗之和

把Y形电路变换成Δ形电路

变换的基本思路是计算Δ形电路的 $R_{Δ}$ ：

R_{Δ} = \frac{R_{P}}{R_{o p p o s i t e}}

其中 $R_{P} = R_{1} R_{2} + R_{2} R_{3} + R_{3} R_{1}$ 是Y形电路中的阻抗两两相乘之和， $R_{o p p o s i t e}$ 是 $R_{Δ}$ 所在支路对侧的端点在Y形电路中对应端点的阻抗。每一支路的阻抗计算公式为：

R_{a} = \frac{R_{1} R_{2} + R_{2} R_{3} + R_{3} R_{1}}{R_{2}}

R_{b} = \frac{R_{1} R_{2} + R_{2} R_{3} + R_{3} R_{1}}{R_{3}}

R_{c} = \frac{R_{1} R_{2} + R_{2} R_{3} + R_{3} R_{1}}{R_{1}}

口訣为 Δ形阻抗 = Y形阻抗两两相乘之和 / Y形对側端点阻抗

图论

在图论中，Y-Δ变换表示将一个图的Y形子图用等价的Δ形子图代替。变换後的边数不变，但顶点数和回路数会变化。如果这两个图可以通过一系列的Y-Δ变换互相变换得到，那么就可以成这两个图Y-Δ等价。例如，佩特森圖就是一个Y-Δ等价类。

推导

Δ形负载到Y形负载的变换方程

要将Δ形负载{ $R_{a}, R_{b}, R_{c}$ }变换成Y形负载{ $R_{1}, R_{2}, R_{3}$ }，需要比较二者对应节点的阻抗。要计算两种接法的阻抗，需要将电路中的一个节点断开。

Δ形电路中N₃断开後，N₁与N₂间的阻抗为

\begin{matrix} R_{Δ} (N_{1}, N_{2}) & = R_{b} ∥ (R_{a} + R_{c}) \\ = \frac{1}{\frac{1}{R_{b}} + \frac{1}{R_{a} + R_{c}}} \\ = \frac{R_{b} (R_{a} + R_{c})}{R_{a} + R_{b} + R_{c}} . \end{matrix}

将{ $R_{a}, R_{b}, R_{c}$ }之和用 $R_{T}$ 表示以简化方程：

R_{T} = R_{a} + R_{b} + R_{c}

得到

R_{Δ} (N_{1}, N_{2}) = \frac{R_{b} (R_{a} + R_{c})}{R_{T}}

Y形电路中N₁与₂的对应阻抗为

R_{Y} (N_{1}, N_{2}) = R_{1} + R_{2}

由以上两式得到：

R_{1} + R_{2} = \frac{R_{b} (R_{a} + R_{c})}{R_{T}}

(1)

同理，对於 $R (N_{2}, N_{3})$ 与 $R (N_{1}, N_{3})$ ，也分别有

R_{2} + R_{3} = \frac{R_{c} (R_{a} + R_{b})}{R_{T}}

(2)

R_{1} + R_{3} = \frac{R_{a} (R_{b} + R_{c})}{R_{T}} .

(3)

由此，{ $R_{1}, R_{2}, R_{3}$ }的值可以由以上式子的线性组合（相加或相减）求出。

例如，将式(1)和式(3)相加，然後减去式(2)会得到

R_{1} + R_{2} + R_{1} + R_{3} - R_{2} - R_{3} = \frac{R_{b} (R_{a} + R_{c})}{R_{T}} + \frac{R_{a} (R_{b} + R_{c})}{R_{T}} - \frac{R_{c} (R_{a} + R_{b})}{R_{T}}

2 R_{1} = \frac{2 R_{b} R_{a}}{R_{T}}

於是

R_{1} = \frac{R_{b} R_{a}}{R_{T}} .

其中 $R_{T} = R_{a} + R_{b} + R_{c}$

求出所有的阻抗值如下：

R_{1} = \frac{R_{b} R_{a}}{R_{T}}

(4)

R_{2} = \frac{R_{b} R_{c}}{R_{T}}

(5)

R_{3} = \frac{R_{a} R_{c}}{R_{T}}

(6)

Y形负载到Δ形负载的变换方程

令

R_{T} = R_{a} + R_{b} + R_{c}

.

则Δ形电路到Y形电路的变换方程变为

R_{1} = \frac{R_{a} R_{b}}{R_{T}}

(1)

R_{2} = \frac{R_{b} R_{c}}{R_{T}}

(2)

R_{3} = \frac{R_{a} R_{c}}{R_{T}} .

(3)

将以上式子两两相乘得到

R_{1} R_{2} = \frac{R_{a} R_{b}^{2} R_{c}}{R_{T}^{2}}

(4)

R_{1} R_{3} = \frac{R_{a}^{2} R_{b} R_{c}}{R_{T}^{2}}

(5)

R_{2} R_{3} = \frac{R_{a} R_{b} R_{c}^{2}}{R_{T}^{2}}

(6)

上式之和为

R_{1} R_{2} + R_{1} R_{3} + R_{2} R_{3} = \frac{R_{a} R_{b}^{2} R_{c} + R_{a}^{2} R_{b} R_{c} + R_{a} R_{b} R_{c}^{2}}{R_{T}^{2}}

(7)

将右侧式子中的公因式 $R_{a} R_{b} R_{c}$ 提出，约去分子中的 $R_{T}$ 和分母中的一个 $R_{T}$ 後得到

R_{1} R_{2} + R_{1} R_{3} + R_{2} R_{3} = \frac{(R_{a} R_{b} R_{c}) (R_{a} + R_{b} + R_{c})}{R_{T}^{2}}

R_{1} R_{2} + R_{1} R_{3} + R_{2} R_{3} = \frac{R_{a} R_{b} R_{c}}{R_{T}}

(8)

注意式(8)和式{(1),(2),(3)}的相似性，

将式(8)除以式(1)得到

\frac{R_{1} R_{2} + R_{1} R_{3} + R_{2} R_{3}}{R_{1}} = \frac{R_{a} R_{b} R_{c}}{R_{T}} \frac{R_{T}}{R_{a} R_{b}},

\frac{R_{1} R_{2} + R_{1} R_{3} + R_{2} R_{3}}{R_{1}} = R_{c},

得到 $R_{c}$ 的表达式。同理，将式(8)除以 $R_{2}$ 或 $R_{3}$ 也能得到相应的表达式。

参考文献

William Stevenson，“Elements of Power System Analysis 3rd ed.”，McGraw Hill, New York, 1975, ISBN 0-07-061285-4

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↑ A.E. Kennelly, Equivalence of triangles and stars in conducting networks, Electrical World and Engineer, vol. 34, pp. 413-414, 1899.

[1] A.E. Kennelly, Equivalence of triangles and stars in conducting networks, Electrical World and Engineer, vol. 34, pp. 413-414, 1899.

[1]

Y-Δ变换

目录

基本的Y-Δ变换

把Δ形电路变换成Y形电路

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图论

推导

Δ形负载到Y形负载的变换方程

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