RL电路

Template:NoteTA Template:线性模拟电子滤波器 RL电路，全称电阻-电感电路（Template:Lang-en），或称RL滤波器、RL网络，是最简单的无限脉冲响应电子滤波器。它由一个电阻器、一个电感元件串联或并联组成，并由电压源驱动。

概论

最基本的被动线性元件为电阻器（R）、电容器（C）和电感元件（L）。这些元件可以被用来组成4种不同的电路：RC电路、RL电路、LC电路和RLC电路，这些名称都缘于各自所使用元件的英语缩写。它们体现了一些对于模拟电子技术来说很重要的性质。它们都可以被用作被动滤波器。本条目主要讲述RL电路串联、并联状态的情况。

在实际应用中通常使用电容器（以及RC电路）而非电感来构成滤波电路。这是因为电容更容易制造，且元件的尺寸普遍更小。

复阻抗

具有电感L（以亨利为单位）的电感元件的复阻抗Z_L（以欧姆为单位）为：

$Z_L=Ls$

复频率s是一个复数，

$s=\sigma +j\omega$

这里

• j表示虚数单位:

$j^2=-1$

• $\sigma$为指数衰减常数（以每秒弧度为单位），且

• $\omega$为角频率（以每秒弧度为单位）

示性函数

复数函数示性函数（Template:Lang）对所有线性时不变系统（Template:Lang）有以下的形式：

$V(t)=𝐀e^{st}=𝐀e^{(\sigma +j\omega )t}$，若令$𝐀=A{e}^{j\varphi }$，则可重写为$=A{e}^{j\varphi }{e}^{(\sigma +j\omega )t}$，合并复数指数后得到$=A{e}^{\sigma t}{e}^{j(\omega t+\varphi )}$

通过复数的欧拉公式，示性函数的实部为指数衰减的正弦值：

$v(t)=\mathrm{R}\mathrm{e}\{V(t)\}=A{e}^{\sigma t}\cos (\omega t+\varphi )$

正弦稳定状态

正弦稳定状态是当输入电压仅包含纯的正弦信号的特殊情况，即不存在指数衰减。因此：

$\sigma =0$

且s的值变为：

$s=j\omega$

串联

创建缩略图出错：

RL电路的串联形式

如果把整个RL电路看做一个按阻抗进行分压的系统，则电感元件“分得”的电压为：

$V_L(s)=\frac{Ls}{R+Ls}{V}_{in}(s)$

电阻器“分得”的电压为：

$V_R(s)=\frac{R}{R+Ls}{V}_{in}(s)$.

电流

由于是串联电路，因此电路处处电流相等，且为：

$I(s)=\frac{V_{in}(s)}{R+Ls}$.

传递函数

电感元件的传递函数为：

$H_L(s)=\frac{V_L(s)}{V_{in}(s)}=\frac{Ls}{R+Ls}=G_L{e}^{j{\varphi }_L}$

类似的，电阻器的传递函数为：

$H_R(s)=\frac{V_R(s)}{V_{in}(s)}=\frac{R}{R+Ls}=G_R{e}^{j{\varphi }_R}$

极点和零点

两个传输函数都有一个极点位于：

$s=-\frac{R}{L}$

另外，电感元件在原点处有一个零点。

增益和相位

通过代入上面的表达式，可以求得两个组件的增益为：

$G_L=|H_L(s)|=\left|\frac{V_L(s)}{V_{in}(s)}\right|=\frac{\omega L}{\sqrt{R^2+{\left(\omega L\right)}^2}}$

且

$G_R=|H_R(s)|=\left|\frac{V_R(s)}{V_{in}(s)}\right|=\frac{R}{\sqrt{R^2+{\left(\omega L\right)}^2}}$,

相位为：

${\varphi }_L=\mathrm{\angle }{H}_L(s)={\tan }^{-1}\left(\frac{R}{\omega L}\right)$

且

${\varphi }_R=\mathrm{\angle }{H}_R(s)={\tan }^{-1}(-\frac{\omega L}{R})$.

相量表示

通常用相量代替上面的式子来表达输出：

$V_L=G_L{V}_{in}{e}^{j{\varphi }_L}$

$V_R=G_R{V}_{in}{e}^{j{\varphi }_R}$.

脉冲响应

每一种电压的冲激响应是对应传输函数的反拉普拉斯变换。它代表电路对于包含脉冲或狄拉克δ函数的输入电压的响应。

电感元件电压的响应为：

$h_L(t)=\delta (t)-\frac{R}{L}{e}^{-tR/L}u(t)=\delta (t)-\frac{1}{\tau }{e}^{-t/\tau }u(t)$

这里u(t)是单位阶跃函数且

$\tau =\frac{L}{R}$为时间常数。

类似的，电阻器电压的响应为：

$h_R(t)=\frac{R}{L}{e}^{-tR/L}u(t)=\frac{1}{\tau }{e}^{-t/\tau }u(t)$

零输入响应

RL电路的零输入响应（Template:Lang）描述了电路在不连接输入信号源的情况下、达到稳定电压和电流时的工作状态。因为它没有外接输入信号，因此得名。

一个RL电路的零输入响应为：

$i(t)=i(0)e^{-(R/L)t}=i(0)e^{-t/\tau }$.

其中$\tau$是时间常数。

并联

File:RL Parallel Filter (with I Labels).svg

RL电路的并联形式

除非连接到电流源，RL电路的并联形式很少引起人们的兴趣。这主要是因为输出电压$V_{out}$等于输入电压$V_{in}$，这样，整个电路并未能充当一个电压信号的滤波器。

复阻抗为：

$I_R=\frac{V_{in}}{R}$

且

$I_L=\frac{V_{in}}{j\omega L}=-\frac{j{V}_{in}}{\omega L}$.

这表明电感元件在相位上落后电阻器（以及输入信号）90度。

RL电路的并联形式经常在放大器电路的输出级上，使放大器与负载隔离。由于电容器引入的相移，有些放大器在高频的情况会变得不稳定，容易产生振荡。这会影响电器功能（例如音响的音效品质）和其使用寿命（特别是对晶体管来说），所以应当尽量避免。

相关条目

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