Q阿佩尔函数

q阿佩尔函数（q-Appell function）又名q阿佩尔多项式（q-Appell polynomials）是数学家Jackson创立的阿佩尔函数的q模拟

《美国国家标准局数学函数手册》中给出的定义如下

q-阿佩尔函数是二变数超几何函数，共四个：

Q Appell function ${\mathrm{\Phi }}^{(1)}$

q-Appell-4 function1

${\mathrm{\Phi }}^{(1)}(a;b,b^{\prime };c;x,y)=\sum _{m,n>0}$$\frac{(a;q{)}_{m+n}*(b;q{)}_m*(b^{\prime };q{)}_n*x^m*y^n}{(q;q{)}_m*(q;q{)}_n*(c;q{)}_{m+n}}$

${\mathrm{\Phi }}^{(2)}(a;b,b^{\prime };c;x,y)=\sum _{m,n>0}$$\frac{(a;q{)}_{m+n}*(b;q{)}_m*(b^{\prime };q{)}_n*x^m*y^n}{(q;q{)}_m*(q;q{)}_n*(c;q{)}_{m+n}}$

${\mathrm{\Phi }}^{(3)}(a,a^{\prime };b,b^{\prime };c;x,y)=\sum _{m,n>0}$$\frac{(a,b;q{)}_m*(a^{\prime },b^{\prime };q{)}_n*x^m*y^n}{(q;q{)}_m*(q;q{)}_n*(c;q{)}_{m+n}}$

${\mathrm{\Phi }}^{(4)}(a;b;c,c^{\prime };x,y)=\sum _{m,n>0}$$\frac{(a,b;q{)}_{m+n}*x^m*y^n}{(q,c;q{)}_m*(q,c^{\prime };q{)}_n}$

其中

$(a;q{)}_n=\prod _{k=0}^{n-1}(1-a{q}^k)=(1-a)(1-aq)(1-a{q}^2)\cdots (1-a{q}^{n-1})$

为Q阶乘幂

$(a,b;q{)}_n=(a;q{)}_n*(b;q{)}_n$

关系式

${\mathrm{\Phi }}^{(2)}(a;b,b^{\prime };c,c^{\prime };x,y)=\frac{(b,ax;q{)}_{\mathrm{\infty }}}{(c,x,y;q{)}_{\mathrm{\infty }}}\sum (\sum \frac{(a,b^{\prime };q{)}_n(x;q{)}_r(c/a;q{)}_r}{(q,c^{\prime };q{)}_n(q{)}_r(ax;q{)}_{n+r}},m=1..\mathrm{\infty }),r=1..\mathrm{\infty })$ .

参考文献

• H. M. Srivastava,Some Characterizations of Appell and Q-Appell Polynomials,University of Victoria, Department of Mathematics, 1981
• Thomas Ernst,Convergence Aspects for Q-appell Functions,Uppsala universitet, 2010
• Thomas Ernst,A Comprehensive Treatment of Q-Calculus,p381,p432,Birkhaus 2012
• Basic Hypergeometric SeriesTemplate:Wayback
• On Models of Uq(sl(2)) and q-Appell Functions Using a q-Integral Transformation