Powerful p-群

在數學的群論中，特別在p-群和pro-p-群的研究中，powerful p-群是一個起著重要作用的概念。這個概念是在Template:Harv引入的，該文中並給出了幾個應用，包括Schur乘子的一些結果。powerful p-群用於p-群的自同構研究Template:Harv，受限制的Burnside問題的解答Template:Harv，以coclass猜想作出的有限p-群分類Template:Harv，及給出了很好的方法去理解解析pro-p-群 Template:Harv。

正式定義

有限p-群$G$稱為powerful，於$p$為奇數時，若交換子子群$[G,G]$包含在子群$G^p=⟨g^p|g\in G⟩$內，而於p=2時若$[G,G]$包含在子群$G^4$內。

powerful p-群的性質

powerful p-群有很多性質與阿貝爾群類似，所以可作為p-群研究的好的基礎。每個有限p-群可以表示為一個powerful p-群的section。

powerful p-群也可用於研究pro-p群，因為powerful p-群提供了簡單方法去描繪p-進解析群（在p-進數上為流形的群）的特性：一個有限生成pro-p群是p-進解析的，當且僅當這個群包含一個powerful的開正規子群。這是Michel Lazard(1965)一個深刻結果的特例。

一些與阿貝爾p-群相似的性質有：若$G$是powerful p-群，則：

• $G$的Frattini子群$\mathrm{\Phi }(G)$有性質$\mathrm{\Phi }(G)=G^p$
• $G^{p^k}=\{g^{p^k}|g\in G\}$對所有$k\ge 1.$。就是以$p^k$次冪生成的群，正是$p^k$次冪的集合。
• 對所有$k\ge 1$，若$G=⟨g_1,\dots ,g_d⟩$，則$G^{p^k}=⟨g_1^{p^k},\dots ,g_d^{p^k}⟩$。
• 對所有$k\ge 1$，$G$的下中心序列的第k位有性質${\gamma }_k(G)\le G^{p^{k-1}}$。
• powerful p-群的每個商群都powerful。
• $G$的Prüfer秩等於$G$的生成元的最小數目。

一些不太像阿貝爾群的性質有：若$G$是powerful p-群，則

• $G^{p^k}$是powerful。
• $G$的子群不一定是powerful。

參考

• Lazard, Michel (1965), Groupes analytiques p-adiques, Publ.Math.IHES 26 (1965), 389-603.
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