Miura变换

Miura变换是R.M.Miura等数学家在1968年发现的KdV方程与MKdV方程的变换关系^[1]^[2]

KdV方程：: $u_{t} - 6 u u_{x} + u_{x x x} = 0$

mKdV方程： $m K d V E q : = v_{t} - 6 v^{2} v_{x} + v_{x x x} = 0$

将 Miura 变换 $u = v^{2} + v_{x}$ 代人KdV方程，得

Eqk: $2 v v_{t} + v_{t x} + 2 v v_{x x x} - 12 v^{3} v_{x} - 12 v v_{x}^{2} - 6 v_{x x} v^{2} + v_{x x x x} = 0$

令 Eqm: $2 v m K d V E q + \frac{\partial (m K d V E q)}{\partial x} = 0$ 得：

Eqm: $2 v v_{t} + v_{t x} + 2 v v_{x x x} - 12 v^{3} v_{x} - 12 v v_{x}^{2} - 6 v_{x x} v^{2} + v_{x x x x} = 0$

显然， Eqk 和 Eqm 是相同的。

KdV方程的一个平凡解为

$u (x, t) = 1$

代人Miura变换得 $v (x, t)^{2} + v (x, t)_{x} = 1$

解： $v (x, t) = \tanh (x + F (t))$

其中F(t)为 t 的任意函数。

参考文献

↑ R.M.Miura et al,Korteweg-de Vries Equation and Generalization II. Existance of Conservation Laws and Constants of Motion, J.Math.Phys.9 1024-1209 1968
↑ 阎振亚著《复杂非线性波的构造性理论及其应用》第79页《Miura变换》，科学出版社 2007年