Meissel-Mertens常数

Meissel-Mertens常数也稱為Mertens常數或質數倒數和常數，是數論中的一個常數，定義為只針對質數的调和级数和自然對數的自然對數二者差的極限：

$M=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\sum _{p\le n}\frac{1}{p}-\ln (\ln (n)))=\gamma +\sum _p[\ln (1-\frac{1}{p})+\frac{1}{p}].$

其中$\gamma$為欧拉-马歇罗尼常数，其定義恰好和上式有些類似之處。

$M$的值大約是

$M\approx 0.2614972128476427837554268386086958590516\dots$ Template:OEIS.

依梅滕斯第二定理，上述的極限存在。

Meissel-Mertens常数的極限定義中出現對數的對數，可以看成是素數定理和欧拉-马歇罗尼常数定義的組合。

Google在針對北電網絡專利拍賣投標時，曾用到此數字，Google三個投標的金額為：$1,902,160,540（布朗常數）、$2,614,972,128（Meissel-Mertens常数）、及$31.4159億（π）。

相關條目

• 素数的倒数之和
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外部連結

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• On the remainder in a series of Mertens (postscript file)