Kalman–Yakubovich–Popov引理

Kalman–Yakubovich–Popov引理（Kalman–Yakubovich–Popov lemma）是Template:Link-en及控制理论的結果，其中提到：給定一數$\gamma >0$，二個n維向量B, C，及n x n的赫維茲穩定矩陣 A（所有特徵值的實部都為負值），若$(A,B)$具有完全可控制性，則滿足下式的對稱矩陣P和向量Q

$A^{T}P+PA=-Q{Q}^T$

$PB-C=\sqrt{\gamma }Q$

存在的充份必要條件是

$\gamma +2Re[C^T(j\omega I-A{)}^{-1}B]\ge 0$

而且，集合$\{x:x^{T}Px=0\}$是$(C,A)$的不可觀測子空間。

此引理可以視為是穩定性理論李亞普諾夫方程的推廣。建構了由狀態空間A, B, C建構的线性矩阵不等式以及其頻域條件的關係。

Kalman–Popov–Yakubovich引理最早是在1962年由Template:Link-en寫出且證明，當時列的是嚴格的頻率不等式。允許等於的不等式是由鲁道夫·卡尔曼在1963年提出。在該文中也建立了Lur'e方程可解性的關係。兩篇都是針對純量輸入系統。其控制維度的限制是在1964年被Gantmakher和Yakubovich放寬的，而Template:Link-en也獨立得到相同結論。在中有針對此一主題的廣泛探討。

多變數Kalman–Yakubovich–Popov引理

給定$A\in {ℝ}^{n\times n},B\in {ℝ}^{n\times m},M=M^T\in {ℝ}^{(n+m)\times (n+m)}$，其中 $\det (j\omega I-A)\ne 0$針對所有$\omega \in ℝ$，且$(A,B)$有可控制性，則以下的敘述是等價的：

1. 針對所有$\omega \in ℝ\cup \{\mathrm{\infty }\}$

   ${\left[\begin{array}{c}(j\omega I-A{)}^{-1}B\\ I\end{array}\right]}^{*}M\left[\begin{array}{c}(j\omega I-A{)}^{-1}B\\ I\end{array}\right]\le 0$

2. 存在一矩陣$P\in {ℝ}^{n\times n}$使得$P=P^T$且

   $M+\left[\begin{array}{cc}{A}^{T}P+PA& PB\\ B^{T}P& 0\end{array}\right]\le 0.$

即使$(A,B)$不具有可控制性，對應上式的嚴格不等式仍成立。