K·p微扰论

Template:TA K·p微扰论又名K·p微扰法，是固体物理中用来计算固体能带结构和光学性质的一种微扰方法，因微扰哈密顿算符中出现了正比于简约波矢（k）与动量算符（p）内积的项而得名。该方法可以近似估计半导体中的电子在导带底的有效质量。

背景

在晶体中，势场具有周期性，如果给其中电子的波函数加以周期性边界条件，则波函数将具有布洛赫波的形式：

${\psi }_{n,𝐤}=e^{i𝐤𝐫}{u}_{n,𝐤}$

其中$𝐤$是简约波矢，$u_{n,𝐤}$是周期函数，且周期与晶格的周期完全相同。

将该表达式代入定态薛定谔方程，可得$u_{n,𝐤}$满足的方程。该方程在形式上类似于定态薛定谔方程：

$H_{𝐤}{u}_{n,𝐤}=E_{n,𝐤}{u}_{n,𝐤}$

其“哈密顿算符”为：$H_{𝐤}=\frac{p^2}{2m}+\frac{\hslash 𝐤\cdot 𝐩}{m}+\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}+V$

微扰方法

K·p微扰论适用于简约波矢$𝐤$较小的情形下。此时可将“哈密顿算符”中不含有简约波矢$𝐤$的项视为无微扰的“哈密顿算符”，把含有简约波矢$𝐤$的项视为“微扰哈密顿算符”，即：

$H_{𝐤}=H_0+H_{{𝐤}^{\prime }},H_0=\frac{p^2}{2m}+V,H_{{𝐤}^{\prime }}=\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}+\frac{\hslash 𝐤\cdot 𝐩}{m}$

利用微扰方法可以用所有$u_{n,\mathrm{𝟎}}$的线性组合表达某个能带的$u_{n,𝐤}$，进而给出能量$E_{n,𝐤}$与简约波矢$𝐤$的近似关系。如果$u_{n,\mathrm{𝟎}}$是不简并的，考虑到一级修正后$u_{n,𝐤}$的表达式为：

$u_{n,𝐤}=u_{n,0}+\frac{\hslash }{m}\sum _{n^{\prime }\ne n}\frac{⟨u_{n,0}|𝐤\cdot 𝐩|u_{n^{\prime },0}⟩}{E_{n,0}-E_{n^{\prime },0}}{u}_{n^{\prime },0}$

考虑二级修正以后能量的表达式为：

$E_{n,𝐤}=E_{n,0}+\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}+\frac{{\hslash }^2}{m^2}\sum _{n^{\prime }\ne n}\frac{|⟨u_{n,0}|𝐤\cdot 𝐩|u_{n^{\prime },0}⟩{|}^2}{E_{n,0}-E_{n^{\prime },0}}=E_{n,0}+\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}+\frac{{\hslash }^2}{m^2}\sum _{n^{\prime }\ne n}\sum _{i,j}\frac{|⟨u_{n,0}|p_i|u_{n^{\prime },0}⟩||⟨u_{n,0}|p_j|u_{n^{\prime },0}⟩|}{E_{n,0}-E_{n^{\prime },0}}{k}_i{k}_j$

电子的倒有效质量张量近似为：

$(\frac{1}{m^{\star }}{)}_{ij}=\frac{1}{m}{\delta }_{ij}+\frac{2}{m^2}\sum _{n^{\prime }\ne n}\frac{|⟨u_{n,0}|p_i|u_{n^{\prime },0}⟩||⟨u_{n,0}|p_j|u_{n^{\prime },0}⟩|}{E_{n,0}-E_{n^{\prime },0}}$

应用

在直接带隙半导体中，导带底部的电子对应的简约波矢为零，它的有效质量可运用K·p微扰论近似计算。微扰论中最近邻态的微扰贡献最大。导带底和价带顶的态互为最近邻态，仅考虑彼此的微扰贡献，K·p微扰论的结果可进一步简化为：

$(\frac{1}{m^{\star }}{)}_{ij}=\frac{1}{m}{\delta }_{ij}+\frac{2}{m^2}\frac{|⟨u_{v,0}|p_i|u_{c,0}⟩||⟨u_{c,0}|p_j|u_{v,0}⟩|}{E_g}$

式中$E_g$为导带底与价带顶的能量差，即带隙；脚标v和c分别指代价带顶与导带底的态。如果所考虑的导带底是旋转对称的，倒有效质量张量可以用一个标量代替：

$\frac{1}{m^{\star }}=\frac{1}{m}+\frac{2}{m^2}\sum _i\frac{|⟨u_{v,0}|p_i|u_{c,0}⟩{|}^2}{E_g}$

表明半导体的带隙越小，导带底电子有效质量也越小。对通常的半导体来说，导带底电子的有效质量远小于电子的真实质量，且矩阵元与电子真实质量的比值近似为一个常量10eV。故：

$m^{\star }/m=E_g/20ev$

该公式给出的导带底电子有效质量近似值与绝大多数IV族、III-V族、II-VI族直接带隙半导体实测值的误差在15%以内。

推广

如果考虑自旋-轨道作用，仍然可以用类似方法处理。此时“哈密顿算符”应写为：

$H_{𝐤}=\frac{p^2}{2m}+\frac{\hslash }{m}𝐤\cdot 𝐩+\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}+V+\frac{\hslash }{4m^2{c}^2}(\mathrm{\nabla }V\times (𝐩+\hslash 𝐤))\cdot \overrightarrow{\sigma }$

如果$u_{n,\mathrm{𝟎}}$有简并，需要使用简并微扰理论。Template:Link-en可以处理这类问题。

参见

• 布洛赫定理