Delta位勢壘

Template:NoteTA 在量子力學裏，Delta位勢壘是一個壘內位勢為狄拉克Delta函數，壘外位勢為0的位勢壘。Delta位勢壘問題專門研討，在這種位勢的作用中，一個移動的粒子的量子行為。我們想要知道的是，在被Delta位勢壘散射的狀況下，粒子的反射係數與透射係數。在許多量子力學的教科書裏，這是一個常見的習題。

定義

對於一個Delta位勢壘的散射。往左與往右的行進波的振幅與方向都分別表示於圖內。用來計算透射係數與反射係數的行進波都以紅色表示。

一個粒子獨立於時間的薛丁格方程為

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2\psi (x)}{d{x}^2}+V(x)\psi (x)=E\psi (x)$；

其中，$\hslash$是約化普朗克常數，$m$是粒子質量，$x$是粒子位置，$E$是能量，$\psi (x)$是波函數，$V(x)$是位勢，表達為

$V(x)=\lambda \delta (x)$；

其中，$\delta (x)$是狄拉克Delta函數，$\lambda$是狄拉克Delta函數的強度。

導引

這位勢壘將一維空間分為兩個區域：$x<0$與$x>0$。在任何一個區域內，位勢為常數，薛丁格方程的解答可以寫為往右與往左傳播的波函數的疊加（參閱自由粒子）：

${\psi }_L(x)=A_r{e}^{ikx}+A_l{e}^{-ikx}x<0$，

${\psi }_R(x)=B_r{e}^{ikx}+B_l{e}^{-ikx}x>0$；

其中，$A_r$、$A_l$、$B_r$、$B_l$都是必須由邊界條件決定的常數，下標$r$與$l$分別標記波函數往右或往左的方向。$k=\sqrt{2mE/{\hslash }^2}$是波數。

由於$E>0$，${\psi }_L$與${\psi }_R$都是行進波。這兩個波必須滿足在$x=0$的邊界條件：

${\psi }_L={\psi }_R$，

$\frac{d}{dx}{\psi }_L=\frac{d}{dx}{\psi }_R-\frac{2m\lambda }{{\hslash }^2}{\psi }_R$。

特別注意第二個邊界條件方程式，波函數隨位置的導數在$x=0$並不是連續的，在位勢壘兩邊的差額有$-\frac{2\lambda }{{\hslash }^2}{\psi }_R$這麼多。這方程式的推導必須用到薛丁格方程。將薛丁格方程積分於$x=0$的一個非常小的鄰域：

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\underset{-ϵ}{\overset{ϵ}{\int }}\frac{d^2\psi }{d{x}^2}dx+\underset{-ϵ}{\overset{ϵ}{\int }}V(x)\psi dx=E\underset{-ϵ}{\overset{ϵ}{\int }}\psi dx$；(1)

其中，$ϵ$是一個非常小的數值。

方程式(1)右邊的能量項目是

$E\underset{-ϵ}{\overset{ϵ}{\int }}\psi dx\approx E\cdot 2ϵ\cdot \psi (0)$。(2)

在$ϵ\to 0$的極限，這項目往著0去。

方程式(1)左邊是

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}(\frac{d{\psi }_R}{dx}{|}_{ϵ}-\frac{d{\psi }_L}{dx}{|}_{-ϵ})+\lambda \underset{-ϵ}{\overset{ϵ}{\int }}\delta (x)\psi dx=0$(3)

根據狄拉克Delta函數的定義，

$\underset{-ϵ}{\overset{ϵ}{\int }}\delta (x)\psi dx={\psi }_R(0)$。(4)

而在$ϵ\to 0$的極限，

$\underset{ϵ\to 0}{\lim }\frac{d{\psi }_L}{dx}{|}_{-ϵ}=\frac{d{\psi }_L}{dx}{|}_0$，(5)

$\underset{ϵ\to 0}{\lim }\frac{d{\psi }_R}{dx}{|}_{ϵ}=\frac{d{\psi }_R}{dx}{|}_0$。(6)

將這些結果(4)，(5)，(6)代入方程式(3)，稍加編排，可以得到第二個邊界條件方程式：在$x=0$，

$\frac{d{\psi }_L}{dx}=\frac{d{\psi }_R}{dx}-\frac{2m\lambda }{{\hslash }^2}{\psi }_R$。

從這兩個邊界條件方程式。稍加運算，可以得到以下方程式：

$A_r+A_l=B_r+B_l$，

$ik(A_r-A_l-B_r+B_l)=-\frac{2m\lambda }{{\hslash }^2}(B_r+B_l)$。

反射與透射

一個Delta位勢壘的反射係數$R$（用紅線表示）與透射係數$T$（用綠線表示）隨著能量$E$的變化。在這裏，能量$E>0$。能量的單位是$\frac{{\lambda }^2}{2m{\hslash }^2}$。經典力學的答案用虛線表示，量子力學的答案用實線表示。

由於能量是正值的，粒子可以自由的移動於位勢壘外的兩個半空間，$x<0$或$x>0$。可是，在Delta位勢壘，粒子會遇到散射狀況。設定粒子從左邊入射。在Delta位勢壘，粒子可能會被反射回去，或者會被透射過去。我們想要知道散射的反射係數與透射係數。設定$A_r=1$，$A_l=r$，$B_l=0$，$B_r=t$。求算反射的機率幅$r$與透射的機率幅$t$：

$r=\frac{1}{\frac{i{\hslash }^{2}k}{m\lambda }-1}$，

$t=\frac{1}{\frac{im\lambda }{{\hslash }^{2}k}+1}$。

反射係數是

$R=|r{|}^2=\frac{1}{1+\frac{{\hslash }^4{k}^2}{m^2{\lambda }^2}}=\frac{1}{1+\frac{2{\hslash }^{2}E}{m{\lambda }^2}}$。

透射係數是

$T=|t{|}^2=1-R=\frac{1}{1+\frac{m^2{\lambda }^2}{{\hslash }^4{k}^2}}=\frac{1}{1+\frac{m{\lambda }^2}{2{\hslash }^{2}E}}$。

這純粹是一個量子力學的效應，稱為量子穿隧效應；在經典力學裏，透射係數等於0，粒子不可能會透射過位勢壘。

• 由於模型的對稱性，假若，粒子從右邊入射，我們也會得到同樣的答案。
• 很奇異地，給予同樣的能量、質量、與狄拉克Delta函數的強度，Delta位勢壘與Delta位勢阱有同樣的反射係數與透射係數。

參閱

• 自由粒子
• 無限深方形阱
• 有限深方形阱
• 有限位勢壘
• 球對稱位勢
• Delta位勢阱
• 量子穿隧效應