默比乌斯反演公式

定義

假設對於數論函數 $f(n)$ 和 $F(n)$，有以下關係式：

$F(n)=\sum _{d|n}f(d)$

則將其默比乌斯反轉公式定義為：

$f(n)=\sum _{d|n}\mu (d)F\left(\frac{n}{d}\right)$

这里 $\mu$ 为默比乌斯函数，定义为：

$\mu (n)=\{\begin{array}{c}1\\ (-1{)}^k\\ 0\end{array}$	若$n=1$
	若$n$无平方数因数，且$n=p_1{p}_2......p_k$
	若$n$有大於$1$的平方數因數

一般形式

設$F(x)$及$G(x)$為定義在$[1,\mathrm{\infty })$上的複值函數並且

$G(x)=\sum _{1⩽n⩽x}F\left(\frac{x}{n}\right)$

則

$F(x)=\sum _{1⩽n⩽x}\mu (n)G\left(\frac{x}{n}\right)$

证明

我们有 $f(n)=\sum _{d\mid n}[\frac{n}{d}=1]f(d)$，其中$[n=1]$在$n=1$时为 1，其余点为 0。

而根据莫比乌斯函数的性质，$[n=1]=\sum _{d\mid n}\mu (d)$，代入得到$f(n)=\sum _{d\mid n}\sum _{m\mid \frac{n}{d}}\mu (m)f(d)$。

由于$\sum _{d\mid n}\sum _{m\mid \frac{n}{d}}$的限制条件其实就是$md\mid n$，故等式可以写成：$f(n)=\sum _{m\mid n}\mu (m)\sum _{d\mid \frac{n}{m}}f(d)=\sum _{m\mid n}\mu (m)F(\frac{n}{m})$。

參見

• 默比乌斯函數