魔鬼曲線

魔鬼曲線為方程式如下的平面曲線

y^{2} (y^{2} - a^{2}) = x^{2} (x^{2} - b^{2}) .

^[1]

此曲線的極座標方程為

r = \sqrt{\frac{b^{2} \sin^{2} θ - a^{2} \cos^{2} θ}{\sin^{2} θ - \cos^{2} θ}} = \sqrt{\frac{b^{2} - a^{2} \cot^{2} θ}{1 - \cot^{2} θ}}

.

此曲線是由加布里尔·克拉默在1750年發現，他對魔鬼曲線有深入的研究^[2]。

魔鬼曲線得名自它中間的雙紐線，此形狀得名自雜耍遊戲扯鈴，扯鈴的外形類似雙紐線^[3]。而扯鈴的英文為diabolo，而義大利文的diabolo即為魔鬼^[4]。

在 $| b | > | a |$ 時，魔鬼曲線是水平的（也稱為沙漏曲線）。在 $| b | < | a |$ 時，此曲線是垂直的。若 $| b | = | a |$ ，魔鬼曲線會變成圓形。

垂直的魔鬼曲線和y軸的交點在y座標分別是 $b, - b, 0$ 的三個點，水平的魔鬼曲線和x軸的交點在x座標分別是 $a, - a, 0$ 的三個點。

馬達曲線

魔鬼曲線的一個特例是 $\frac{a^{2}}{b^{2}} = \frac{25}{24}$ ，此曲線稱為馬達曲線（electric motor curve）^[5]，其方程如下：

$y^{2} (y^{2} - 96) = x^{2} (x^{2} - 100)$ .

馬達曲線的由來是因為曲線像是馬達線圈的形狀。