魔術方塊群

魔方的所有可能重新排列形成一個群，叫做魔方群。

在数学中，魔方群是一个群 (G,·) 对应于集合G的所有魔方块正常转动可能形成的所有情形. 从完好魔方从发到任一种状态所经历的操作, 都与群元有一一对应的关系. .

对于一个3阶标准魔方, 除去中心块外一共有48个色块, 因此一个魔方状态可以由1-48的某种排列表示, 但由于魔方本身的几何结构约束, 并不是所有的序号排列都是合法的魔方状态. 在这种表示下, 对魔方的一个操作可以表示成一个置换. 因此, 3阶魔方群是置换群$S_{48}$的子群, 并满足和置换群相同的运算规则.

和置换群相同, 魔方群是一个非阿贝尔群, 对魔方的操作不满足交换律.

魔方操作

一个3阶魔方包含$6$个面, 其中每个面有$9$个色块. 对魔方的一次原子级操作是将其中的某一个面顺时针旋转$90^{\circ }$, 分别记为$\{𝐅,𝐁,𝐋,𝐑,𝐔,𝐃\}$. 以右侧面为例, 逆时针旋转可以被记为${𝐑}^3$, 通常简记为${𝐑}^{\prime }$. 特别指出, 不对魔方进行任何操作的操作被记为$𝐄$, 是3阶魔方群的单位元.

同构

魔方群共有$43,252,003,274,489,856,000=\frac{12!}{2}\cdot 2^{12-1}\cdot 8!\cdot 3^{8-1}$個元素，與下方此群同构，當中$A_n$為交錯群，${\mathbb{Z}}_n$為循環群：

$({\mathbb{Z}}_3^7\times {\mathbb{Z}}_2^{11})⋊((A_8\times A_{12})⋊{\mathbb{Z}}_2).$

參考條目

• 旋轉方塊