高斯-卢卡斯定理

高斯-卢卡斯定理，又称卢卡斯定理，该定理描述了複系数多项式的一个性质：多项式导数的根一定在原多项式的根所构成的凸包内。

这一结论曾在1836年被高斯直接使用，1874年由Template:Tsl证明^[1]。

动机

二次多项式 $P (x) = a x^{2} + b x + c$ 的导数 $P^{'}$ 的根为原多项式 $P$ 的两个根的平均数。

同样地，如果一个 $n$ 次多项式有 $n$ 个两两不同的实值零点 $x_{1} < x_{2} < . . . < x_{n}$ ，根据罗尔定理，其导数的每个零点都位于区间 $[x_{1}, x_{n}]$ 之中。

高斯-卢卡斯定理可以看成这一性质在复系数多项式上的推广。

设 $P$ 是一个非常数的複系数多项式，那么 $P^{'}$ 的所有根都属于由 $P$ 的根构成的凸包。

将多项式函数P写成复数下的不可约形式： $P (z) = c \prod_{i = 1}^{r} (z - a_{i})^{n_{i}}$ ，其中复数 $c$ 是多项式的主系数、 $a_{i}$ 是多项式的根、 $n_{i}$ 为各个根的重数。

首先注意到：

\frac{P^{'} (z)}{P (z)} = \sum_{i = 1}^{r} \frac{n_{i}}{z - a_{i}}

假设复数

z

满足：

P^{'} (z) = 0 且 P (z) \neq 0,

因此：

\sum_{i = 1}^{r} \frac{n_{i}}{z - a_{i}} = 0

乘以共轭取模

\sum_{i = 1}^{r} n_{i} \frac{\overline{z} - \overline{a_{i}}}{| z - a_{i} |^{2}} = 0,

写成如下形式：

(\sum_{i = 1}^{r} \frac{n_{i}}{| z - a_{i} |^{2}}) \overline{z} = \sum_{i = 1}^{r} \frac{n_{i}}{| z - a_{i} |^{2}} \overline{a_{i}} .

此时，可以将 $z$ 看成是 $n$ 个位于 $a_{i}$ 的质点的重心，因此在其构成的凸包内。

另一种 $P (z) = 0$ 情况下的证明是显然的。