马施克定理

Template:Citation style 在代数中，马施克定理是有限群表示论中基本的定理之一。

定理

若 $V$ 是域 $K$ 上的有限维线性空间， $(V, ρ)$ 是有限群 $G$ 的表示, $U_{0}$ 是 $V$ 的 $G$ 不变子空间, $K$ 的特征不能整除 $G$ 的阶，

则存在 $V$ 中的 $G$ 不变子空间 $W$ ，使得 $V = W \oplus U_{0}$ ，从而 $(V, ρ)$ 是完全可约的。

$U_{0}$ 是 $V$ 的子空间，所以存在 $U_{0}$ 在 $V$ 中的补空间 $W_{0}$ ，及投影 $P_{0}$ , $Q_{0}$ ，使得

$U_{0} = P_{0} V$

$W_{0} = Q_{0} V$

$P_{0}^{2} - P_{0} = Q_{0}^{2} - Q_{0} = P_{0} Q_{0} = Q_{0} P_{0} = 0$

$P_{0} + Q_{0} = 1$

由条件“ $K$ 的特征不能整除 $G$ 的阶”，令 $N = | G |$ ，则 $N$ 是域 $K$ 中的可逆元。

定义新的投影算子

$P = N^{- 1} \sum_{g \in G} g P_{0} g^{- 1}$

$Q = N^{- 1} \sum_{g \in G} g Q_{0} g^{- 1}$

则

$P + Q = 1$

$P^{2} = P$

$Q^{2} = Q$

$P Q = Q P = 0$

于是

$V = U \oplus W$

其中 $U = Im P$ ， $W = Im Q$

由 $P$ 的定义 $U = Im P \subseteq U_{0}$

另一方面可以直接验证 $\forall u = P_{0} v \in U_{0}, Q u = Q P_{0} v = 0$ 从而 $U_{0} \subseteq Ker Q = Im P = U$

故 $U = U_{0}$

$V = U_{0} \oplus W$

注意到 $\forall g \in G, g Q = Q g$

$W$ 是 $G$ 不变子空间。

证毕。