馮紐曼熵

Template:Unreferenced 量子統計力學中，馮紐曼熵（Template:Lang-en）是經典體系吉布士熵概念的拓展延伸。體系的馮紐曼熵为

$S\dot{=}-\mathrm{T}\mathrm{r}(\rho \ln \rho ),$

其中Tr表示求跡，$\rho$是體系的密度矩陣。

運用密度矩陣的本徵態向量分解表示

$\rho =\sum _i{w}_i|{\psi }_i⟩⟨{\psi }_i|,$

可以得到：

$S=-\sum _i{w}_i\ln w_i.$

性質

馮紐曼熵有下列性質：

• $S=0⟺\rho$代表純態；
• $S=S_{\max }=\ln N⟺\rho$代表最大混合態，就是所有的$w_i$都等於$N^{-1}$，其中$N$是希爾伯特空間的維數；
• 對密度矩陣作Template:Internal link helper/en，$S$不變。
• 馮紐曼熵是密度矩陣的上凸函數：

$S\left(\sum _{i=1}^k{\lambda }_i{\rho }_i\right)\ge \sum _{i=1}^k{\lambda }_{i}S({\rho }_i),\mathrm{\forall }{\lambda }_i\ge 0,\sum _i{\lambda }_i=1;$

• 馮紐曼熵對獨立體系有加和性，就是：如果$A$和$B$是兩個獨立的體系，这样

$S({\rho }_A\otimes {\rho }_B)=S({\rho }_A)+S({\rho }_B).$