非对称关系

Template:Distinguish 在數學中，非對稱關係（Template:Lang-en）是二元關係的一種。若集合 $X$ 上的二元關係 $R$ 為非對稱關係，則對於所有 $a,b\in X$，$(a,b)\in R⟹(b,a)\in ̸R$。換句話說，如果 $a$ 至 $b$ 存在關係，則 $b$ 至 $a$ 不存在關係。

正式定義

一個定義於 $X$ 上的二元關係 $R$ 是 $X\times X$ 的任何子集。給定 $a,b\in X$，我們將 $(a,b)\in R$ 簡寫為 $aRb$，讀作「$a$ 至 $b$ 存在關係 $R$（$a$ is related to $b$ by $R$）」。

如果對於所有 $a,b\in X$，若 $aRb$，則 $bRa$（也就是 $(a,b)\in R⟹(b,a)\in ̸R$ ），則我們稱 $R$ 是非對稱的。以一階邏輯的形式可以寫成：

$$\mathrm{\forall }a,b\in X:aRb⟹\mathrm{\neg }(bRa)$$

一個邏輯等價的定義如下：對於所有 $a,b\in X$，$aRb$ 與 $bRa$ 中至少有一為假。以一階邏輯的形式可以寫成：

$$\mathrm{\forall }a,b\in X:\mathrm{\neg }(aRb\wedge bRa)$$

非對稱關係的一個例子是定義於實數上的「小於關係」，亦即 $R=\{(a,b)|a<b\}$。由於當 $a$ 小於 $b$ 時，$b$ 一定不小於 $a$，因此 $R$ 是非對稱的。另一方面，「小於等於關係」則不是非對稱的，因為當 $a=b$ 時，$a\le b$ 和 $b\le a$ 會同時成立，不符合非對稱關係的定義。

非對稱關係不代表對稱關係的相反，上述的「小於等於關係」既不是非對稱關係，也不是對稱關係；而「空關係（$R=\mathrm{\varnothing }$）」是唯一同時是非對稱關係，也是對稱關係的關係。

非對稱關係（Asymmetric）與反對稱關係（Antisymmetric）的差異在於：反對稱關係容許自反性，$(a,a)$ 可以屬於 $R$，而非對稱關係不允許。如上述的「小於等於關係」即是反對稱關係的一例。

特性

• 一個關係為非對稱的，若且唯若該關係為反對稱且非自反的。
• 對於一個非對稱關係 $R$，對其施加限制或求其逆關係後，該關係同樣是非對稱的。例如，由「$<$」定義的關係是非對稱關係（若 $a<b$ 則 $b<a$），若將集合從實數限縮至整數，該關係同樣是非對稱的；求該關係的逆關係「$>$」，該逆關係同樣是非對稱的。
• 一個遞移關係為非對稱的，若且唯若該關係為非自反的：若存在 $aRb$ 且 $bRa$ 使得該關係不是非對稱，則由遞移性可得到 $aRa$，使得該關係同樣不是非自反關係。
• 一個關係為遞移性的且非對稱的，若且唯若該關係為嚴格偏序的。
• 一個非對稱關係不一定是全關係。例如，由「嚴格子集」定義的關係是非對稱關係（若 $A\subset B$ 則 $B\subset ̸A$），但不是全關係（$\{1,2\}\subset ̸\{3,4\}$ 又 $\{3,4\}\subset ̸\{1,2\}$）。

参见

• 反对称关系
• 对称关系