雷諾傳輸定理

Template:微積分學 雷諾傳輸定理也稱為萊布尼茲-雷諾傳輸定理或雷諾输运定理，是以積分符號內取微分聞名的萊布尼茲積分的三維推廣。

雷諾傳輸定理得名自奧斯鮑恩·雷諾（1842–1912），用來調整積分量的微分，用來推導連續介質力學的基礎方程。

考慮在時變的區域$\mathrm{\Omega }(t)$積分$𝐟=𝐟(𝐱,t)$，其邊界為$\partial \mathrm{\Omega }(t)$，考慮上式對時間的微分：

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\underset{\mathrm{\Omega }(t)}{\int }𝐟\text{dV}.$

若要求上述積分的導數，會有兩個問題，$𝐟$的時間相依性，及因$\mathrm{\Omega }$動態的邊界而增加或減少的空間，雷諾傳輸定理提供了必要的框架。

通用型式

雷諾傳輸定理可表為以下形式是：

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\underset{\mathrm{\Omega }(t)}{\int }𝐟\text{dV}=\underset{\mathrm{\Omega }(t)}{\int }\frac{\partial 𝐟}{\partial t}\text{dV}+\underset{\partial \mathrm{\Omega }(t)}{\int }({𝐯}_b\cdot 𝐧)𝐟\text{dA}$

其中$𝐧(𝐱,t)$為向外的單位法向量，$𝐱$為區域中的一點，也是積分變數，$\text{dV}$ 及$\text{dA}$是位於$𝐱$的體積元素及表面元素，${𝐯}_b(𝐱,t)$為面積元素的速度而非流速。函數$𝐟$可以是張量、向量或純量函數。注意等式左邊的積分只是時間的函數，所以採用全微分符號。

針對流體塊的形式

在連續介質力學中，此定理常用在沒有物質進來或離開的流體塊或固體中。若$\mathrm{\Omega }(t)$為一流體塊，則存在速度函數$𝐯=𝐯(𝐱,t)$及邊界元素符合下式

${𝐯}^b\cdot 𝐧=𝐯\cdot 𝐧.$

上式在替代後，可以得到以下的定理

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\underset{\mathrm{\Omega }(t)}{\int }𝐟\text{dV}\right)=\underset{\mathrm{\Omega }(t)}{\int }\frac{\partial 𝐟}{\partial t}\text{dV}+\underset{\partial \mathrm{\Omega }(t)}{\int }(𝐯\cdot 𝐧)𝐟\text{dA}.$

針對一流體塊的證明

令${\mathrm{\Omega }}_0$為區域$\mathrm{\Omega }(t)$的參考組態，令其運動及形變梯度為 $𝐱=\mathit{\phi }(𝐗,t);⟹𝑭(𝐗,t)={\mathrm{\nabla }}_{\circ }\mathit{\phi }.$ 令$J(𝐗,t)=\det [𝑭(𝐗,t)]$. 則目前組態及參考組態的積分有以下的關係 $\underset{\mathrm{\Omega }(t)}{\int }𝐟(𝐱,t)\text{dV}=\underset{{\mathrm{\Omega }}_0}{\int }𝐟[\mathit{\phi }(𝐗,t),t]J(𝐗,t){\text{dV}}_0=\underset{{\mathrm{\Omega }}_0}{\int }\widehat{𝐟}(𝐗,t)J(𝐗,t){\text{dV}}_0.$ That this derivation is for a material element is implicit in the time constancy of the reference configuration: it is constant in material coordinates. 針對體積積分的微分定義為 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\underset{\mathrm{\Omega }(t)}{\int }𝐟(𝐱,t)\text{dV})=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{1}{\mathrm{\Delta }t}(\underset{\mathrm{\Omega }(t+\mathrm{\Delta }t)}{\int }𝐟(𝐱,t+\mathrm{\Delta }t)\text{dV}-\underset{\mathrm{\Omega }(t)}{\int }𝐟(𝐱,t)\text{dV}).$ 將上式轉換為對參考組態的積分，可得 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\underset{\mathrm{\Omega }(t)}{\int }𝐟(𝐱,t)\text{dV})=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{1}{\mathrm{\Delta }t}(\underset{{\mathrm{\Omega }}_0}{\int }\widehat{𝐟}(𝐗,t+\mathrm{\Delta }t)J(𝐗,t+\mathrm{\Delta }t){\text{dV}}_0-\underset{{\mathrm{\Omega }}_0}{\int }\widehat{𝐟}(𝐗,t)J(𝐗,t){\text{dV}}_0).$ 因為${\mathrm{\Omega }}_0$和時間無關，可得 $\begin{array}{cc}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\underset{\mathrm{\Omega }(t)}{\int }𝐟(𝐱,t)\text{dV})& =\underset{{\mathrm{\Omega }}_0}{\int }\left[\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{\widehat{𝐟}(𝐗,t+\mathrm{\Delta }t)J(𝐗,t+\mathrm{\Delta }t)-\widehat{𝐟}(𝐗,t)J(𝐗,t)}{\mathrm{\Delta }t}\right]{\text{dV}}_0\\ & =\underset{{\mathrm{\Omega }}_0}{\int }\frac{\partial }{\partial t}[\widehat{𝐟}(𝐗,t)J(𝐗,t)]{\text{dV}}_0\\ & =\underset{{\mathrm{\Omega }}_0}{\int }(\frac{\partial }{\partial t}[\widehat{𝐟}(𝐗,t)]J(𝐗,t)+\widehat{𝐟}(𝐗,t)\frac{\partial }{\partial t}[J(𝐗,t)]){\text{dV}}_0\end{array}$ 現在，$\det 𝑭$的時間導數為 $\frac{\partial J(𝐗,t)}{\partial t}=\frac{\partial }{\partial t}(\det 𝑭)=(\det 𝑭)(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐯)=J(𝐗,t)\mathrm{\nabla }\cdot 𝐯(\mathit{\phi }(𝐗,t),t)=J(𝐗,t)\mathrm{\nabla }\cdot 𝐯(𝐱,t).$ 因此 $\begin{array}{cc}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\underset{\mathrm{\Omega }(t)}{\int }𝐟(𝐱,t)\text{dV})& =\underset{{\mathrm{\Omega }}_0}{\int }(\frac{\partial }{\partial t}[\widehat{𝐟}(𝐗,t)]J(𝐗,t)+\widehat{𝐟}(𝐗,t)J(𝐗,t)\mathrm{\nabla }\cdot 𝐯(𝐱,t)){\text{dV}}_0\\ & =\underset{{\mathrm{\Omega }}_0}{\int }(\frac{\partial }{\partial t}[\widehat{𝐟}(𝐗,t)]+\widehat{𝐟}(𝐗,t)\mathrm{\nabla }\cdot 𝐯(𝐱,t))J(𝐗,t){\text{dV}}_0\\ & =\underset{\mathrm{\Omega }(t)}{\int }(\dot{𝐟}(𝐱,t)+𝐟(𝐱,t)\mathrm{\nabla }\cdot 𝐯(𝐱,t))\text{dV}\end{array}$ 其中$\dot{𝐟}$為$𝐟$的Template:Link-en，現在材料導數為 $\dot{𝐟}(𝐱,t)=\frac{\partial 𝐟(𝐱,t)}{\partial t}+[\mathrm{\nabla }𝐟(𝐱,t)]\cdot 𝐯(𝐱,t).$ 因此 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\underset{\mathrm{\Omega }(t)}{\int }𝐟(𝐱,t)\text{dV})=\underset{\mathrm{\Omega }(t)}{\int }(\frac{\partial 𝐟(𝐱,t)}{\partial t}+[\mathrm{\nabla }𝐟(𝐱,t)]\cdot 𝐯(𝐱,t)+𝐟(𝐱,t)\mathrm{\nabla }\cdot 𝐯(𝐱,t))\text{dV}$ 或者 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\underset{\mathrm{\Omega }(t)}{\int }𝐟\text{dV}\right)=\underset{\mathrm{\Omega }(t)}{\int }(\frac{\partial 𝐟}{\partial t}+\mathrm{\nabla }𝐟\cdot 𝐯+𝐟\mathrm{\nabla }\cdot 𝐯)\text{dV}.$ 利用以下的恆等式 $\mathrm{\nabla }\cdot (𝐯\otimes 𝐰)=𝐯(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐰)+\mathrm{\nabla }𝐯\cdot 𝐰$ 可得 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\underset{\mathrm{\Omega }(t)}{\int }𝐟\text{dV}\right)=\underset{\mathrm{\Omega }(t)}{\int }(\frac{\partial 𝐟}{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot (𝐟\otimes 𝐯))\text{dV}.$ 利用高斯散度定理及恆等式 $(𝐚\otimes 𝐛)\cdot 𝐧=(𝐛\cdot 𝐧)𝐚$，可得 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\underset{\mathrm{\Omega }(t)}{\int }𝐟\text{dV}\right)=\underset{\mathrm{\Omega }(t)}{\int }\frac{\partial 𝐟}{\partial t}\text{dV}+\underset{\partial \mathrm{\Omega }(t)}{\int }(𝐟\otimes 𝐯)\cdot 𝐧\text{dA}=\underset{\mathrm{\Omega }(t)}{\int }\frac{\partial 𝐟}{\partial t}\text{dV}+\underset{\partial \mathrm{\Omega }(t)}{\int }(𝐯\cdot 𝐧)𝐟\text{dA}◻$

錯誤的引用

此定理常被錯誤的引用為只針對物质体积（material volume）的形式，若將只針對物质体积應用於物质体积以外的區域中，就會出現問題。

特別形式

若$\mathrm{\Omega }$不隨時間改變，則${𝐯}_b=0$，且恆等式化簡為以下的形式

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f\text{dV}=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\frac{\partial f}{\partial t}\text{dV},$

不過若用了不正確的雷諾傳輸定理，無法進行上述的簡化。

在一維下的詮釋及簡化

此定理是積分符號內取微分的高維延伸，有些情形下可以簡化為積分符號內取微分。假設$f$和$y$和$z$無關，且$\mathrm{\Omega }(t)$為$y-z$平面的單位方塊，且有$a(t)$及$b(t)$的極限，雷諾傳輸定理會簡化為

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\underset{a(t)}{\overset{b(t)}{\int }}f\text{dx}=\underset{a(t)}{\overset{b(t)}{\int }}\frac{\partial f}{\partial t}\text{dx}+\frac{\partial b(t)}{\partial t}f(b(t),t)-\frac{\partial a(t)}{\partial t}f(a(t),t),$

上述是由積分符號內取微分來的表示式，但x及t變數已經對調。

相關條目

• 積分符號內取微分
• Template:Link-en

參考資料

• L. G. Leal, 2007, Advanced transport phenomena: fluid mechanics and convective transport processes, Cambridge University Press, p. 912.
• O. Reynolds, 1903, Papers on Mechanical and Physical Subjects, Vol. 3, The Sub-Mechanics of the Universe, Cambridge University Press, Cambridge.
• J. E. Marsden and A. Tromba, 2003, Vector Calculus, 5th ed., W. H. Freeman .

外部連結

• Osborne Reynolds, Collected Papers on Mechanical and Physical Subjects, in three volumes, published circa 1903, now fully and freely

available in digital format:Volume 1, Volume 2, Volume 3,

• -{R|https://web.archive.org/web/20080327180821/http://www.catea.org/grade/mecheng/mod6/mod6.html#slide1}-
• -{R|http://planetmath.org/reynoldstransporttheorem}- Template:Wayback