雅可比旋转

在数值线性代数中，雅可比旋转是 n 维内积空间的二维线性子空间的旋转 Q_kℓ，在用做相似变换的时候，被选择来置零 n×n 实数对称矩阵 A 的非对角元素的对称对:

$A\mapsto Q_{k\ell }^{T}A{Q}_{k\ell }=A^{\prime }.$

$\left[\begin{array}{ccccccc}*& & & \cdots & & & *\\ & \ddots & & & & & \\ & & a_{kk}& \cdots & a_{k\ell }& & \\ ⋮& & ⋮& \ddots & ⋮& & ⋮\\ & & a_{\ell k}& \cdots & a_{\ell \ell }& & \\ & & & & & \ddots & \\ *& & & \cdots & & & *\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{ccccccc}*& & & \cdots & & & *\\ & \ddots & & & & & \\ & & a{\text{'}}_{kk}& \cdots & 0& & \\ ⋮& & ⋮& \ddots & ⋮& & ⋮\\ & & 0& \cdots & a{\text{'}}_{\ell \ell }& & \\ & & & & & \ddots & \\ *& & & \cdots & & & *\end{array}\right]$

它是雅可比特征值算法的核心运算，它是数值上稳定的并适合用并行计算实现。

注意到只有 A 的行 k 和 ℓ 与列 k 和 ℓ 受到影响，并且 A′ 将保持对称。还有给 Q_kℓ 的明显的矩阵很少被计算，转而计算辅助值，A 也有效率和数值上稳定的方式更新。但是，为了引用，我们写矩阵为

$Q_{k\ell }=\left[\begin{array}{ccccccc}1& & & & & & \\ & \ddots & & & & 0& \\ & & c& \cdots & s& & \\ & & ⋮& \ddots & ⋮& & \\ & & -s& \cdots & c& & \\ & 0& & & & \ddots & \\ & & & & & & 1\end{array}\right].$

就是说，除了四个元素之外，Q_kℓ 是一个单位矩阵，两个在对角线上(q_kk 和 q_ℓℓ 都等于 c) 而两个位于远离对角的位置上(q_kℓ 和 Q_ℓk 分别等于 s 和 −s)。这里的 c = cos ϑ 而 s = sin ϑ 对于某个角度 ϑ；但是对于应用这种旋转，这个角度自身是不需要的。使用克罗内克δ符号，矩阵元素可以写为

$q_{ij}={\delta }_{ij}+({\delta }_{ik}{\delta }_{jk}+{\delta }_{i\ell }{\delta }_{j\ell })(c-1)+({\delta }_{ik}{\delta }_{j\ell }-{\delta }_{i\ell }{\delta }_{jk})s.$

假设 h 是不为 k 或 ℓ 的索引(它们自身必须是不同的)。类似的更改过程在代数上写为

$a{\text{'}}_{hk}=a{\text{'}}_{kh}=c{a}_{hk}-s{a}_{h\ell }$

$a{\text{'}}_{h\ell }=a{\text{'}}_{\ell h}=c{a}_{h\ell }+s{a}_{hk}$

$a{\text{'}}_{k\ell }=a{\text{'}}_{\ell k}=(c^2-s^2)a_{k\ell }+sc(a_{kk}-a_{\ell \ell })=0$

$a{\text{'}}_{kk}=c^2{a}_{kk}-s^2{a}_{\ell \ell }-2sc{a}_{k\ell }$

$a{\text{'}}_{\ell \ell }=c^2{a}_{kk}-s^2{a}_{\ell \ell }+2sc{a}_{k\ell }$

数值稳定计算

要确定需要更改的数量，我们必须解远离对角的元素为零的方程Template:Harv。这蕴涵了

$\frac{c^2-s^2}{sc}=\frac{a_{\ell \ell }-a_{kk}}{a_{k\ell }}.$

设 β 是这个数量的一半，

$\beta =\frac{a_{\ell \ell }-a_{kk}}{2a_{k\ell }}.$

如果 a_kℓ 是零，我们可以停止而不需要进行更改，因此我们永不除以零。设 t 是 tan ϑ。则通过一些三角恒等式我们简约这个方程为

$t^2+2\beta t-1=0.$

为了稳定性我们选择解

$t=\frac{\mathrm{sgn}(\beta )}{|\beta |+\sqrt{{\beta }^2+1}}.$

以此我们可以获得 c 和 s 为

$c=\frac{1}{\sqrt{t^2+1}}$

$s=ct$

尽管我们可以使用前面给出的代数更改等式，重写它们会更好。设

$\rho =\frac{s}{1+c},$

所以 ρ = tan(ϑ/2)。则修订后的修改方程为

$a{\text{'}}_{hk}=a{\text{'}}_{kh}=a_{hk}-s(a_{h\ell }+\rho a_{hk})$

$a{\text{'}}_{h\ell }=a{\text{'}}_{\ell h}=a_{h\ell }+s(a_{hk}-\rho a_{h\ell })$

$a{\text{'}}_{k\ell }=a{\text{'}}_{\ell k}=0$

$a{\text{'}}_{kk}=a_{kk}-t{a}_{k\ell }$

$a{\text{'}}_{\ell \ell }=a_{\ell \ell }+t{a}_{k\ell }$

如前面提及的，我们永不需要明确的计算旋转角度 ϑ。事实上，我们可以通过只保留三个值 k, ℓ 和 t 来重新生成由 Q_kℓ 确定的对称更改，带有 t 对零旋转设置为零。

参见

• Givens旋转

引用

• Golub, Gene H. & Charles F. Van Loan (1996), Matrix Computations (3rd ed.), Baltimore: Johns Hopkins University Press, ISBN 978-0-8018-5414-9 Template:Wayback