阿特伍德機

阿特伍德机，1905年。

阿特伍德機（Atwood machine，又譯作阿特午德機或阿特午機），是由英國牧師、數學家兼物理學家的乔治·阿特伍德在1784年发表的《关于物体的直线运动和转动》一文中提出的，用於測量加速度及驗證運動定律的機械。此機械現在經常出現於學校教學中，用來解釋经典物理學的原理，验证力學中做恒定加速度运动的运动规律。

一個理想的阿特伍德機包含兩個物體質量m₁和m₂，及由無重量、無彈性的繩子連結並包覆理想且無重量的滑輪。

當$m_1=m_2$，无论兩物體在何位置、機器處於力平衡的狀態。當$m_2>m_1$时，兩物體皆以大小相等的加速度做运动。

恆定加速度的方程式

Atwood machine

我們可以藉由分解力的方法得到一個加速度的方程式。如果繩子無重量、無彈性，滑輪理想（無視半徑）且無重量，那麼我們只需要考慮張力（T），還有兩個物體的重量（mg）。先找出個別影響兩物體的力,當$m_2>m_1$时,

m₁的力: $T-m_{1}g$

m₂的力: $m_{2}g-T$

利用牛頓第二運動定律, $T-m_{1}g=m_{1}a$, $m_{2}g-T=m_{2}a$ 。 将这两个方程式相加, 我們可以得到整個系統的恒定的加速度的方程式。定义合力$\sum F$, 我们有 $\sum F=(m_{2}g-T)+(T-m_{1}g)=g(m_2-m_1)$ 。

$\sum F=ma$

$a=\frac{\sum F}{m}$

$\sum F=g(m_2-m_1)$

$m=(m_1+m_2)$

$a=g\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}$

阿特伍德機有時候也被用來說明拉格朗日力學中獲得的運動方程式。

计算張力的方程式

上述的方程式也可用來計算繩子上的張力，只需要將得到的等加速度方程式代入兩物體的力方程式之一中。

$a=g\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}$

例如代入$m_{1}a=T-m_{1}g$，我們得到

$T=g\frac{2m_1{m}_2}{m_1+m_2}$

藉由同樣的方法，張力也可以從$m_{2}a=m_{2}g-T$中求得。

有轉動慣量滑輪和摩擦存在的情况

若m₁與m₂之間的重量差别很小時，半徑为（r）的滑輪的轉動慣量（I）不可以被忽略。当不打滑时，滑輪的角加速度可以從以下算式求得：

$\alpha =\frac{a}{r}$

在此情況下，作用于滑輪上的總力矩為：

${\tau }_{Total}=(T_2-T_1)r-{\tau }_{friction}=I\alpha$

把该方程式与两个垂吊物体的方程式 $T_1-m_{1}g=m_{1}a$, $m_{2}g-T_2=m_{2}a$ 联合求解 $T_1$, $T_2$ 和 $a$，我们得到：

$a=\frac{g(m_2-m_1)-\frac{{\tau }_{friction}}{r}}{m_1+m_2+\frac{I}{r^2}}$

$T_1=\frac{m_{1}g(2m_2+\frac{I}{r^2}+\frac{{\tau }_{friction}}{rg})}{m_1+m_2+\frac{I}{r^2}}$

$T_2=\frac{m_{2}g(2m_1+\frac{I}{r^2}+\frac{{\tau }_{friction}}{rg})}{m_1+m_2+\frac{I}{r^2}}$

參考

• "Atwood's Machine Template:Wayback" by Enrique Zeleny, The Wolfram Demonstrations Project.
• "Spreading Newtonian Philosophy with Instruments: The Case of Atwood's Machine". -{R|Http://dx.doi.org/10.4236/ahs.2014.31007}-