阿基米德中點定理

在此图中AD=DC+BC

阿基米德中點定理（Template:Lang-en），又稱為阿基米德折弦定理，是一個關於圓的定理。若一個圓上有兩點$A,B$，$M$為弧$\stackrel{⌢}{AB}$的中點，隨意選圓上的一點$D$為$\overline{AC}$上的點使得$\overline{MD}$垂直$\overline{AC}$。若$M$、$C$在弦$\stackrel{⌢}{AB}$异侧，则$\overline{AD}$=$\overline{CD}$-$\overline{BC}$；若$M$、$C$在弦$\stackrel{⌢}{AB}$同侧，则$\overline{AD}$=$\overline{CD}$+$\overline{BC}$。

证明

若为同侧：在线段$\overline{AD}$上取点$X$，使得$\overline{DX}=\overline{DC}$，由于$\overline{MD}\perp \overline{AC}$，有

$\overline{MX}=\overline{MC}$。又因为$M$为弧$\stackrel{⌢}{AB}$中点，$\stackrel{⌢}{AM}=\stackrel{⌢}{BM}$。

同时由圆周角定理知：

$\mathrm{\angle }MAC=\mathrm{\angle }MBC$，$\mathrm{\angle }ABM=\mathrm{\angle }ACM$，

所以 $\mathrm{\angle }XMC=2\mathrm{\angle }DMC=180^{\circ }-2\mathrm{\angle }ACM=180^{\circ }-2\mathrm{\angle }ABM=\mathrm{\angle }AMB$ ，

所以 $\mathrm{\angle }AMX=\mathrm{\angle }AMC-\mathrm{\angle }XMC=\mathrm{\angle }AMC-\mathrm{\angle }AMB=\mathrm{\angle }BMC$，

所以 $\mathrm{△}AMX\cong \mathrm{△}BMC$，

所以 $\overline{AX}=\overline{BC}$，$\overline{AD}=\overline{AX}+\overline{XD}=\overline{DC}+\overline{CB}$，命题得证。

若为异侧：在线段$\overline{AD}$延长线上取点$X$,使$\overline{DX}=\overline{AD}$.因为$M$为弧$\stackrel{⌢}{AB}$中点，所以$\mathrm{\angle }ACM=\mathrm{\angle }BCM$。又因为四边形$AMBC$为圆内接四边形，所以，延长$\overline{CB}$至$P$，则$\mathrm{\angle }MBP=\mathrm{\angle }MAC$。但是$\overline{AD}=\overline{DX}$，$\mathrm{\angle }ADM$为直角，所以$\mathrm{△}ADM\cong \mathrm{△}XDM$ ； $\mathrm{\angle }MAC=\mathrm{\angle }AXM$ ； $\mathrm{\angle }MBP=\mathrm{\angle }AXM$ ； $\mathrm{\angle }CXM=\mathrm{\angle }CBM$ 。

又$\overline{CM}=\overline{CM}$，所以 $\mathrm{△}CXM\cong \mathrm{△}CBM$ 。

承上所述，所以$\overline{CX}=\overline{CB}$。所以$\overline{AD}=\overline{DC}-\overline{CX}=\overline{DC}-\overline{CB}$。

外部連結

• Java程式 (by Jim Loy)